Преобразование Фурье

Только не кидайте меня в терновый куст!
Сказки дядюшки Римуса.

Тезисы:

  • Сигнал представляется как функция по времени: зависимость амплитуды от времени (по оси абсцисс — время, по оси ординат — амплитуда). Это представление сигнала — представление в домене времени.
  • Это представление неудобно (почему? потому что бесполезно, например ЭКГ, сейсмические данные — проблемы с сердцем или сейсмическую активность, соответствующую землетрясению, фиксируют по частотам). Удобнее анализировать сигнал в частотном представлении (представление в домене частот).
  • В домене частот сигнал представляется так: по оси абсцисс — частота (вместо времени), по оси ординат — амплитуда.
  • Преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена времени в домен частот. Обратное преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена частот в домен времени.
  • Зачем эти преобразования? Легче перевести сигнал из домена времени в домен частот, выявить закономерности, а потом перевести полученные результаты обратно в домен времени.
  • Фурье решал своё именное дифференциальное уравнение теплопроводности (для краевой задачи — задачи нагревания стержня). Уравнение было аналитически неразрешимо, поэтому он и придумал преобразование имени себя.
  • Функция в домене времени — функция действительного (вещественного) аргумента — называется функцией-прообразом. Функция в домене частот — функция комплексного аргумента — называется Фурье-образом или просто образом. Это похоже на логику дифференцирования и интегрирования.
  • Комплексный аргумент имеет две части: действительную и мнимую — что позволяет одним комплексным числом описывать процесс, характеристиками которого являются амплитуда и частота (дайте, пожалуйста, комплексный обед с мнимым мясом).

Предположим, у нас есть сигнал, описываемый в домене времени функцией f(t) = sin (4 pi t) , переведём его в доме частот, использя преобразование Фурье: f hat ( omega ) = size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} size +4 int from -\\(if to +\\(if f(t) roman e sup {- roman i omega t} roman d t ,

где omega — частота.

Для нашего примера omega = 4 pi .

Получим Фурье-образ сигнала:   f hat ( omega ) 
  = 
  size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} int from -\\(if to +\\(if sin (4 pi t) ~ roman e sup {-i 4 pi t} roman d t
  =
  size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} int from -\\(if to +\\(if sin (4 pi t) ~ ( sin (4 pi t) - i cos (4 pi t)) roman d t

Для перехода использовалась ФормулаЭйлера: roman e sup ix = cos x + i sin x   size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} left \[ int from -\\(if to +\\(if sin sup 2 (4 pi t) roman d t - i int from -\\(if to   +\\(if sin (4 pi t) cos (4 pi t) roman d t right \]
}


КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияИнтегральныеПреобразования