@@ -4,7 +4,7 @@
 
 Андрей Ануфриев.
 
-Программист, иногда кажется, что ведущий программист. Пишу на С++, поддерживаю код на C#, тестирую программы на Python. Область интересов: компьютерное зрение, машинное обучение. Ленив, необщителен, люблю рыбалку, охоту и тихую охоту.
+Программист-алгоритмист в Itseez (ООО "Аргус" в Нижнем Новгороде). Пишу на С++. Область интересов: компьютерное зрение, машинное обучение. Ленив, необщителен, люблю рыбалку, охоту и тихую охоту.
 
 	* Впервые познакомился с Григорием Александровичем, когда он читал нам курс по программированию на Си. Слишком часто присылал ему свой код с выполненным заданием, что в итоге привело к получению зачёта.
 ----
@@ -19,7 +19,8 @@
 -- Опыт работы
 
 	* 2000 — 2007: разнорабочий;
-	* март 2011 — настоящее время: ООО «''''''СиТех''''''», программист.
+	* март 2011 — май 2015: ООО «''''''СиТех''''''», программист.
+	* май 2015 — настоящее время: Itseez, программист-алгоритмист.
 
 -- Литература
 	1 Cash, J. R. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides / J. R. Cash, A. H. Karp // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1990. — № 16. — p. 201-222. — URL: http://www.elegio.it/mc2/rk/doc/p201-cash-karp.pdf
@@ -28,19 +29,21 @@
 
 - Введение в компьтерное зрение.
 
-Для введения в компьютерное зрение, рассмотрим для начала математическое описание получение изображений с помощью цифрового фотоаппарата.
+Для введения в компьютерное зрение, рассмотрим для начала математическое описание получения изображений с помощью цифрового фотоаппарата.
 
 В приложениях компьютерного зрения используется модель перспективной проекции, соответствующая идеальной камере-обскуре, но из-за неточностей и ограниченности оптики, накладываются дополнительные искажения, которые будут описаны позже. Модель простейшей камеры-обскуры удобна тем, что она полностью описывается центром проекции и положением плоскости изображения.Поэтому проекция любой точки сцены на изображении может быть найдена как пересечение луча, соединяющего центр проекции и точку сцены, с плоскостью изображения.
 
-Рассмотрим систему координат в трёхмерном пространсве, в начало которой поместим центр проекции камеры (фокус) так, чтобы оптическая ось камеры совпадала с осью $$Z$$. Расположим плоскость изображения (матрицу камеры) в плоскость $$Z=1$$ и обозначим её буквой $$\[*R]$$.
+Рассмотрим систему координат в трёхмерном пространсве, в начало которой поместим центр проекции камеры (фокус) так, чтобы оптическая ось камеры совпадала с осью $$Z$$. Расположим плоскость изображения (матрицу камеры) в плоскость $$Z=1$$ и обозначим её буквой $$\[*R]$$. Данная плоскость $$\[*R]$$ называется идельной плоскостью изображения.
 
-Вычислим проекцию точки пространства $$M=[X, Y, Z] sup roman T$$ на плоскость изображения, для этого проведём прямую через начало координат и точкой $$M$$ и найдём её пересечение с плоскостью $$\[*R]$$. Так как для данной плоскости координата $$Z = 1 = Z ~ / ~ Z$$, то пропорционально так же:
+Вычислим проекцию точки пространства $$M=[[X, Y, Z]] sup roman T$$ на плоскость изображения, для этого проведём прямую через начало координат и точкой $$M$$ и найдём её пересечение с плоскостью $$\[*R]$$. Так как для данной плоскости координата $$Z = 1 = Z ~ / ~ Z$$, то пропорционально так же:
 %EQ
+lpile {
 x =
 X ~ / ~ Z
-
+above
 y =
 Y ~ / ~ Z
+}
 %EN
 
 В матричной форме данное соотношение в однородных координатах можно записать так:
@@ -51,18 +54,183 @@
 = 
 left [
 matrix {
-ccol {1 above 0 above 0 above 0}
-ccol {0 above 1 above 0 above 0}
-ccol {0 above 0 above 1 above 0}
-ccol {0 above 0 above 0 above 0}
+ccol {1 above 0 above 0}
+ccol {0 above 1 above 0}
+ccol {0 above 0 above 1}
+ccol {0 above 0 above 0}
+}
+right ]
+~
+left [
+pile { X above Y above Z above 1}
+right ]
+
+%EN
+
+-- Замечание:
+	Однородные координаты -- координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число, то есть для плоскости, кроме привычных нам координат $$x$$ и $$y$$, вводится третья "координата" $$w~!=~0$$ и точки $$(wx, wy, w)$$ и $$(x, y, 1)$$ считаются равными. При $$w~=~0$$ считается, что точка находится в бесконечности.
+
+-- Внутренняя калибровка камеры
+	Простейший случай перспективной проекции практически всегда не соответствует реальной камере. Расстояние от центра проекции до плоскости изображения, т.е. фокусное расстояние, обозначаемое $$f$$, обычно не равно 1. Также координаты точки в плоскости изображения могут не совпадать с абсолютными координатами. При использовании цифровой камеры, соотношение между координатами точки в изображении и абсолютными координатами точки на идеальной плоскости, определяется формой и размерами пикселов матрицы, то есть оси координат изображения могут иметь разный масштаб если высота и ширина пикселов на матрице не равны между собой.
+
+	Обозначим размеры пиксела матрицы цифровой камеры за $$p sub x$$ и $$p sub y$$ угол наклона пиксела за $$ alpha $$ принципиальную точку (точку пересечения оптической оси с плоскостью изображения) за $$ (c sub x, c sub y ) $$. Тогда координаты точки $$ (x,y) $$ в изображении, соответствующей точке $$ (x sub r, y sub r ) $$ на идеальной плоскости, определяются выражением:
+
+%EQ
+left [
+pile { x above y above 1}
+right ] 
+= 
+left [
+matrix {
+ccol {{f} over {p sub x} above 0 above 0}
+ccol {{f tan alpha} over {p sub y} above {f} over {p sub y} above 0}
+ccol {c sub x above c sub x above 1}
+}
+right ]
+~
+left [
+pile { x sub r above y sub r above 1}
+right ]
+
+%EN
+
+Если рассматривать проекцию точки трёхмерной сцены, то предыдущее уравнение можно записать в следующем виде:
+
+%EQ
+left [
+pile { x above y above 1}
+right ] 
+= 
+left [
+matrix {
+ccol {{f} over {p sub x} above 0 above 0}
+ccol {{f tan alpha} over {p sub y} above {f} over {p sub y} above 0}
+ccol {c sub x above c sub x above 1}
+}
+right ]
+~
+left [
+matrix {
+ccol {1 above 0 above 0}
+ccol {0 above 1 above 0}
+ccol {0 above 0 above 1}
+ccol {0 above 0 above 0}
+}
+right ]
+~
+left [
+pile { X above Y above Z above 1}
+right ]
+= 
+left [
+matrix {
+ccol {{f} over {p sub x} above 0 above 0}
+ccol {{f tan alpha} over {p sub y} above {f} over {p sub y} above 0}
+ccol {c sub x above c sub x above 1}
+}
+right ]
+~
+left [
+matrix {
+ccol {I| bold 0}
+}
+right ]
+~
+left [
+pile { X above Y above Z above 1}
+right ]
+%EN
+
+, где $$ I $$ - единичная матрица размера 3x3, $$ bold 0 $$ - нулевой вектор размера 3x1.
+
+Так как зачастую пренебрегают углом наклона пикселов из-за его малости и считают, что пикселы имеют равную высоту и ширину, но формулу проекции можно представить в следующем виде:
+
+%EQ
+left [
+pile { x above y above 1}
+right ]
+= 
+left [
+matrix {
+ccol {{f} over {p sub x} above 0 above 0}
+ccol {0 above {f} over {p sub x} above 0}
+ccol {c sub x above c sub x above 1}
+}
+right ]
+~
+left [
+matrix {
+ccol {I| bold 0}
 }
 right ]
 ~
 left [
 pile { X above Y above Z above 1}
 right ]
+%EN
 
+Для дальнейших рассуждений обозначим матрицу внутренних параметров буквой $$ K $$:
+
+%EQ
+K
+=
+left [
+matrix {
+ccol {{f} over {p sub x} above 0 above 0}
+ccol {0 above {f} over {p sub x} above 0}
+ccol {c sub x above c sub x above 1}
+}
+right ]
 %EN
 
--Замечание:
-Однородные координаты -- координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число, то есть например для плоскости, кроме привычных нам координат $$x$$ и $$y$$, вводится третья "координата" $$w~!=~0$$ и точки $$(wx, wy, w)$$ и $$(x, y, 1)$$ считаются равными. При $$w~=~0$$ считается, что точка находится в бесконечности.
+-- Внешняя калибровка камеры
+
+Все выкладки выше были написаны в предположении о том, что начало координат лежит в центре проекции камеры и оси $$ XY $$ точек в пространстве совпадают с точностью до масштаба с осями $$ XY $$ плоскости изображения. Но данное предположение не всегда удобно, так как при работе с несколькими камерами Декартова система координат (ДСК) в пространстве  может быть выбрана по какому либо объекту, а не по положению самой камеры, поэтому рассмотрим повороты и смещения, с помощью которых можно описать любое движение в ДСК. Систему координат, в которой мы в дальнейшем будем 
+
+Если $$ X tilde $$ неоднородные координаты точки пространства (то есть имеем только 3 координаты), то преобразование из мировой системы координат в систему координат камеры можно представить в следующем виде: $$ X tilde sub cam = R ( X tilde - C tilde ) $$, где $$ C tilde $$ координаты центра камеры в мировой системе координат и $$ R $$ матрица поворота размера 3x3. Матричная формула данной записи имеет вид:
+
+%EQ
+X tilde sub cam
+=
+left [
+matrix {
+ccol {R above 0}
+ccol {-R~C tilde above 1}
+}
+right ]
+X
+%EN
+
+А координата точки на изображении имеет вид:
+
+%EQ
+x
+=
+KR[[I | -~C tilde ]]X
+=
+PX
+%EN
+
+Матрицу $$ P $$ называют матрицей проекции камеры. Матрица $$ P $$ имеет 9 степеней свободы: 3 степени $$ left ( {f} over {p sub x}, p sub x, p sub y right ) $$ для внутренних параметров камеры (internal camera parameters) и 6 степеней для описания поворота и трансляции для внешних параметров камеры (external parameters).
+
+ -- Искажения объектива.
+
+Объективы не идеальны... Луч света проходящий через объектив и падающий на поверхность матрицы камеры подвергается нелинейным геометрическим искажениям, и зачастую эти искажения настолько велики, что прямые линии становятся кривыми. Можете для пример взять обычную мыльницу и сфотографировать дверь. Если ваш объектив не широкоугольный, то вы наверняка вместо прямых линий двери увидите кривые. И чем дальше будет линия от центра объектива, тем больше будет её кривизна. Данный вид искажения (аберрация) называется дисторсией и связан он с сферической формой объектива (радиальная дисторсия) и не параллельностью фокальной оси объектива и поверхности матрицы (тангенциальная дисторсия). Легче делать линзы сферической формы, чем идеально параболические и сложно совместить плоскости объектива и матрицы.
+
+Рассмотрим математическое описание радиальной дисторсии. Пусть $$ (u, v) $$ - сиcтема координат точек изображения в случае линзы без искажений и $$ ( u tilde , v tilde ) $$ - реально наблюдаемая система координаты. Тогда эти координаты связаны следующей формулой:
+
+%EQ
+
+x tilde 
+= 
+x + x [[k sub 1 (x sup 2 + y sup 2 ) + k sub 2 (x sup 2 + y sup 2 ) sup 2 ]]
+
+%EN
+
+%EQ
+
+y tilde 
+= 
+y + y [[k sub 1 (x sup 2 + y sup 2 ) + k sub 2 (x sup 2 + y sup 2 ) sup 2 ]]
+
+%EN