@@ -1,4 +1,4 @@
-- Дисперсия случайной величины
+= Дисперсия случайной величины
 
 Черновик. Черновик. Черновик. Не бросайте меня в терновый куст.
 
@@ -8,25 +8,135 @@
 
 Для иллюстрации рассмотрим два примера: очень простой и простой.
 
--- Очень простой пример
+- Очень простой пример
 
-Предположим, у нас есть две выборки размера $$n = 5 : bold x = (7, 8, 10, 12, 13)$$ и $$bold y = (2, 7, 12, 13, 16).$$ Средние этих выборок равны $$x bar = y bar = 10 ,$$ но видно, что первая выборка гораздо более компактно располагается вокруг своего среднего значения, а вторая — более рассеянна относительно него.
+Предположим, у нас есть две выборки размера $$n = 5 : X = \(lC 7, 8, 10, 12, 13 \(rC$$ и $$Y  = \(lC 2, 7, 12, 13, 16 \(rC .$$ Средние этих выборок равны $$x bar = y bar = 10 ,$$ но видно, что первая выборка гораздо более компактно располагается вокруг своего среднего значения, а вторая — более рассеянна относительно него.
 
-Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние разносторонних выборосов (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такая сумма и будет называться ''дисперсией'' или ''вариацией'':
+Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно в среднем отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние отклонений в разные стороны от среднего (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такой показатель и будем называть ''дисперсией'' и обозначим $$roman D [X] :$$
 
 %EQ
-D[X] = {sum from i=1 to n (x sub i - x bar ) sup 2} over {n}
+roman D [X] = {sum from i=1 to n (x sub i - x bar ) sup 2} over {n}
 %EN
 
+Отметим, что в академической традиции, подражающей западной, дисперсию принято называть ''вариацией'' (калькирование английского слова ''variance'') и обозначать $$roman Var [X]$$, что вносит путаницу, когда русскоязычные студенты начинает изучать, например, метод вариации постоянной в курсе дифференциальных уравнений. Поэтому мы будем придерживаться термина ''дисперсия'' и указанного выше обозначения или обозначения через $$sigma sub X sup 2$$.
+
+Рассчитаем дисперсии для обеих выборок из нашего примера.
+
 Для первой выборки:
 
 %EQ
+roman D [ X ] = 
+size -2 {{(7 - 10) sup 2 + (8 - 10) sup 2 + (10 - 10) sup 2 + (12 - 10) sup 2 + (13 - 10) sup 2} over 5} = size -2 {26 over 5} = 5,2
+}
+%EN
+
+Для второй выборки:
+
+%EQ
+roman D [ Y ] = 
+size -2 {{(2 - 10) sup 2 + (7 - 10) sup 2 + (12 - 10) sup 2 + (13 - 10) sup 2 + (16 - 10) sup 2} over 5} = size -2 {122 over 5} = 24,4
+%EN
+
+Видно, что вторая выборка более разреженна относительно её арифметрического центра.
+
+- Определение для случайных величин
+
+Дисперсия, как было сказано выше, средняя сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. Мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания (в роли деления на число наблюдений выступает взвешивание по вероятностям в формуле математического ожидания):
+
+%EQ
+roman D [X] = roman M [(X - roman M [X]) sup 2 ] .
+%EN
+
+Напомним три факта, связанное с понятием МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины:
+	1 Математическое ожидание случайной величины — это число, константа: $$roman M [X] = c .$$
+	1 Математическое ожидание константы — это сама эта константа: $$roman M [c] = c .$$
+	1 Константу можно вынести за знак математического ожидания: $$roman M [cX] = c roman M [X] .$$
+	1 Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — это линейная комбинация математических ожиадний: $$roman M [a X + b Y + c] = a roman M [X] + b roman M [Y] + c .$$
+
+Раскроем скобки в записи дисперсии и воспользуемся свойством линейности математического ожидания:
+
+%EQ
+roman D [X] = 
+roman M [ X sup 2 - 2 X roman M [X] + ( roman M [X]) sup 2 ] = 
+roman M [X sup 2 ]  - roman M [ 2 X roman M [X] ] + roman M [ ( roman M [X]) sup 2 ].
+%EN
+
+Рассмотрим слагаемые по отдельности. Первое слагаемое мы оставим без изменений. Из второго слагаемого мы можем вынести константу $$2 roman M [X]$$, в результате чего получим $$roman M [2 X roman M [X]] = 2 roman M [X] roman M [X] = 2 ( roman M [X]) sup 2 .$$ Под знаком математического ожидания третьего слагаемого стоит квадрат математического ожидания, т. е. тоже константа поэтому $$roman M[( roman M [X]) sup 2 ] = ( roman M [X]) sup 2 .$$ Запишем дисперсию, использовав преобразованные слагаемые:
+
+%EQ
+roman D [X] = 
+roman M [X sup 2 ] - 2 ( roman M [X]) sup 2 + ( roman M [X]) sup 2 =
+roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 .
+%EN
+
+Мы можем воспользоваться любой из этих формул для расчёта дисперсии:
+
+%EQ
+roman D [X] = 
+roman M [(X - roman M [X]) sup 2 ] = 
+roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 .
+%EN
+
+- Простой пример
+
+Предположим, что у нас есть две случайных величины $$X$$ и $$Y$$, законы распределения которых заданы таблично:
+
+%EQ
+left |
+ matrix {
+  ccol {x sub i above p sub i}
+  ccol {5 above 0","1}
+  ccol {7 above 0","5}
+  ccol {10 above 0","4}
+ }
+right |
+%EN
+
+%EQ
+left |
+ matrix {
+  ccol {y sub i above p sub i}
+  ccol {2 above 0","2}
+  ccol {9 above 0","7}
+  ccol {13 above 0","1}
+ }
+right | 
+%EN
+
+Математические ожидания этих случайных величины равны:
+
+%EQ
+lpile {
+ roman M [X] = sum from i=1 to 3 x sub i p sub i = 
+ 5 cdot 0","1 + 7 cdot 0","5 + 10 cdot 0","4 = 8 , above
+ roman M [Y] = sum from i=1 to 3 y sub i p sub i = 
+ 2 cdot 0","2 + 9 cdot 0","7 + 13 cdot 0","1 = 8 .
+}
+%EN
+
+Рассчитаем дисперсию случайных величин $$X$$ и $$Y ,$$ воспользовавшись второй формулой. Рассчитаем сначала математические ожидания квадратов случайных величин:
+
+%EQ
+lpile {
+ roman M [X sup 2 ] = 
+ sum from i=1 to 3 x sub i sup 2 p sub i = 
+ 5 sup 2 cdot 0","1 + 7 sup 2 cdot 0","5 + 10 sup 2 cdot 0","4 =  67, above
+ roman M [Y sup 2 ] = 
+ sum from i=1 to 3 y sub i sup 2 p sub i = 
+ 2 sup 2 cdot 0","2 + 9 sup 2 cdot 0","7 + 13 sup 2 cdot 0","1 = 74","4 .
+}
+%EN
+
+Финально, получим дисперсии:
+
+%EQ
 lpile {
-D[ bold x ] = 
- size -2 {{(7 - 10) sup 2 + (8 - 10) sup 2 + (10 - 10) sup 2 + (12 - 10) sup 2 + (13 - 10) sup 2} over 5} =
- size -2 {{(-3) sup 2 + (-2) sup 2 + 0 sup 2 + 2 sup 2 + 3 sup 2} over 5} = above
- size -2 {{9 + 4 + 0 + 4 + 9} over 5} = 
- size -2 {26 over 5} = 5.2
+ roman D [X] = 
+ roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 =
+ 67 - 8 sup 2  = 3 above
+ roman D [X] = 
+ roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 =
+ 74","4 - 8 sup 2 = 10","4
 }
 %EN