Разница между 1.45
и текущей версией
ДисперсияСлучайнойВеличины.
@@ -1,4 +1,4 @@
-- Дисперсия случайной величины
+= Дисперсия случайной величины
Черновик. Черновик. Черновик. Не бросайте меня в терновый куст.
@@ -8,16 +8,20 @@
Для иллюстрации рассмотрим два примера: очень простой и простой.
--- Очень простой пример
+- Очень простой пример
Предположим, у нас есть две выборки размера $$n = 5 : X = \(lC 7, 8, 10, 12, 13 \(rC$$ и $$Y = \(lC 2, 7, 12, 13, 16 \(rC .$$ Средние этих выборок равны $$x bar = y bar = 10 ,$$ но видно, что первая выборка гораздо более компактно располагается вокруг своего среднего значения, а вторая — более рассеянна относительно него.
-Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние разносторонних выборосов (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такая сумма и будет называться ''дисперсией'' или ''вариацией'':
+Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно в среднем отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние отклонений в разные стороны от среднего (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такой показатель и будем называть ''дисперсией'' и обозначим $$roman D [X] :$$
%EQ
roman D [X] = {sum from i=1 to n (x sub i - x bar ) sup 2} over {n}
%EN
+Отметим, что в академической традиции, подражающей западной, дисперсию принято называть ''вариацией'' (калькирование английского слова ''variance'') и обозначать $$roman Var [X]$$, что вносит путаницу, когда русскоязычные студенты начинает изучать, например, метод вариации постоянной в курсе дифференциальных уравнений. Поэтому мы будем придерживаться термина ''дисперсия'' и указанного выше обозначения или обозначения через $$sigma sub X sup 2$$.
+
+Рассчитаем дисперсии для обеих выборок из нашего примера.
+
Для первой выборки:
%EQ
@@ -33,9 +37,47 @@
size -2 {{(2 - 10) sup 2 + (7 - 10) sup 2 + (12 - 10) sup 2 + (13 - 10) sup 2 + (16 - 10) sup 2} over 5} = size -2 {122 over 5} = 24,4
%EN
-Видно, что вторая выборка более разряженна относительно её арифметрического центра.
+Видно, что вторая выборка более разреженна относительно её арифметрического центра.
+
+- Определение для случайных величин
+
+Дисперсия, как было сказано выше, средняя сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. Мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания (в роли деления на число наблюдений выступает взвешивание по вероятностям в формуле математического ожидания):
+
+%EQ
+roman D [X] = roman M [(X - roman M [X]) sup 2 ] .
+%EN
--- Простой пример.
+Напомним три факта, связанное с понятием МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины:
+ 1 Математическое ожидание случайной величины — это число, константа: $$roman M [X] = c .$$
+ 1 Математическое ожидание константы — это сама эта константа: $$roman M [c] = c .$$
+ 1 Константу можно вынести за знак математического ожидания: $$roman M [cX] = c roman M [X] .$$
+ 1 Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — это линейная комбинация математических ожиадний: $$roman M [a X + b Y + c] = a roman M [X] + b roman M [Y] + c .$$
+
+Раскроем скобки в записи дисперсии и воспользуемся свойством линейности математического ожидания:
+
+%EQ
+roman D [X] =
+roman M [ X sup 2 - 2 X roman M [X] + ( roman M [X]) sup 2 ] =
+roman M [X sup 2 ] - roman M [ 2 X roman M [X] ] + roman M [ ( roman M [X]) sup 2 ].
+%EN
+
+Рассмотрим слагаемые по отдельности. Первое слагаемое мы оставим без изменений. Из второго слагаемого мы можем вынести константу $$2 roman M [X]$$, в результате чего получим $$roman M [2 X roman M [X]] = 2 roman M [X] roman M [X] = 2 ( roman M [X]) sup 2 .$$ Под знаком математического ожидания третьего слагаемого стоит квадрат математического ожидания, т. е. тоже константа поэтому $$roman M[( roman M [X]) sup 2 ] = ( roman M [X]) sup 2 .$$ Запишем дисперсию, использовав преобразованные слагаемые:
+
+%EQ
+roman D [X] =
+roman M [X sup 2 ] - 2 ( roman M [X]) sup 2 + ( roman M [X]) sup 2 =
+roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 .
+%EN
+
+Мы можем воспользоваться любой из этих формул для расчёта дисперсии:
+
+%EQ
+roman D [X] =
+roman M [(X - roman M [X]) sup 2 ] =
+roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 .
+%EN
+
+- Простой пример
Предположим, что у нас есть две случайных величины $$X$$ и $$Y$$, законы распределения которых заданы таблично:
@@ -43,9 +85,9 @@
left |
matrix {
ccol {x sub i above p sub i}
- ccol {5 above 0,1}
- ccol {7 above 0,5}
- ccol {10 above 0,4}
+ ccol {5 above 0","1}
+ ccol {7 above 0","5}
+ ccol {10 above 0","4}
}
right |
%EN
@@ -54,9 +96,9 @@
left |
matrix {
ccol {y sub i above p sub i}
- ccol {2 above 0,2}
- ccol {9 above 0,7}
- ccol {13 above 0,1}
+ ccol {2 above 0","2}
+ ccol {9 above 0","7}
+ ccol {13 above 0","1}
}
right |
%EN
@@ -65,28 +107,37 @@
%EQ
lpile {
- roman M [X] = sum from i=1 to 3 x sub i p sub i = 5 cdot 0,1 + 7 cdot 0,5 + 10 cdot 0,4 = 8 , above
- roman M [Y] = sum from i=1 to 3 y sub i p sub i = 2 cdot 0,2 + 9 cdot 0,7 + 13 cdot 0,1 = 8 .
+ roman M [X] = sum from i=1 to 3 x sub i p sub i =
+ 5 cdot 0","1 + 7 cdot 0","5 + 10 cdot 0","4 = 8 , above
+ roman M [Y] = sum from i=1 to 3 y sub i p sub i =
+ 2 cdot 0","2 + 9 cdot 0","7 + 13 cdot 0","1 = 8 .
}
%EN
-Дисперсия, как было сказано выше, сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. С учётом вероятностей мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания:
+Рассчитаем дисперсию случайных величин $$X$$ и $$Y ,$$ воспользовавшись второй формулой. Рассчитаем сначала математические ожидания квадратов случайных величин:
%EQ
-roman D [X] = roman M [(X - roman M [X]) sup 2 ] .
+lpile {
+ roman M [X sup 2 ] =
+ sum from i=1 to 3 x sub i sup 2 p sub i =
+ 5 sup 2 cdot 0","1 + 7 sup 2 cdot 0","5 + 10 sup 2 cdot 0","4 = 67, above
+ roman M [Y sup 2 ] =
+ sum from i=1 to 3 y sub i sup 2 p sub i =
+ 2 sup 2 cdot 0","2 + 9 sup 2 cdot 0","7 + 13 sup 2 cdot 0","1 = 74","4 .
+}
%EN
-Напомним три факта, связанное с понятием МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины:
- 1 Математическое ожидание случайной величины — это число, константа: $$roman M [X] = a.$$
- 1 Математическое ожидание константы — это сама константа: $$roman M [c] = c .$$
- 1 Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — это линейная комбинация математических ожиадний: $$roman M [a X + b Y + c] = a roman M [X] + b roman M [Y] + c .$$
-
-Раскроем скобки в записи дисперсии и воспользуемся свойством линейности математического ожидания:
+Финально, получим дисперсии:
%EQ
-roman D [X] =
-roman M [X sup 2 - 2 X roman M [X] + ( roman M [X]) sup 2 ] =
-roman M [X sup 2 ] - roman M [2 X roman M [X] ] + roman M [ ( roman M [X]) sup 2]
+lpile {
+ roman D [X] =
+ roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 =
+ 67 - 8 sup 2 = 3 above
+ roman D [X] =
+ roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 =
+ 74","4 - 8 sup 2 = 10","4
+}
%EN
# КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияТеорияВероятностей