Разница между 1.69
и текущей версией
ДисперсияСлучайнойВеличины.
@@ -1,4 +1,4 @@
-- Дисперсия случайной величины
+= Дисперсия случайной величины
Черновик. Черновик. Черновик. Не бросайте меня в терновый куст.
@@ -8,16 +8,20 @@
Для иллюстрации рассмотрим два примера: очень простой и простой.
--- Очень простой пример
+- Очень простой пример
Предположим, у нас есть две выборки размера $$n = 5 : X = \(lC 7, 8, 10, 12, 13 \(rC$$ и $$Y = \(lC 2, 7, 12, 13, 16 \(rC .$$ Средние этих выборок равны $$x bar = y bar = 10 ,$$ но видно, что первая выборка гораздо более компактно располагается вокруг своего среднего значения, а вторая — более рассеянна относительно него.
-Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно в среднем отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние отклонений в разные стороны от среднего (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такой показатель и будем называть ''дисперсией'' или ''вариацией'':
+Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно в среднем отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние отклонений в разные стороны от среднего (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такой показатель и будем называть ''дисперсией'' и обозначим $$roman D [X] :$$
%EQ
roman D [X] = {sum from i=1 to n (x sub i - x bar ) sup 2} over {n}
%EN
+Отметим, что в академической традиции, подражающей западной, дисперсию принято называть ''вариацией'' (калькирование английского слова ''variance'') и обозначать $$roman Var [X]$$, что вносит путаницу, когда русскоязычные студенты начинает изучать, например, метод вариации постоянной в курсе дифференциальных уравнений. Поэтому мы будем придерживаться термина ''дисперсия'' и указанного выше обозначения или обозначения через $$sigma sub X sup 2$$.
+
+Рассчитаем дисперсии для обеих выборок из нашего примера.
+
Для первой выборки:
%EQ
@@ -35,42 +39,9 @@
Видно, что вторая выборка более разреженна относительно её арифметрического центра.
--- Простой пример.
-
-Предположим, что у нас есть две случайных величины $$X$$ и $$Y$$, законы распределения которых заданы таблично:
-
-%EQ
-left |
- matrix {
- ccol {x sub i above p sub i}
- ccol {5 above 0,1}
- ccol {7 above 0,5}
- ccol {10 above 0,4}
- }
-right |
-%EN
-
-%EQ
-left |
- matrix {
- ccol {y sub i above p sub i}
- ccol {2 above 0,2}
- ccol {9 above 0,7}
- ccol {13 above 0,1}
- }
-right |
-%EN
-
-Математические ожидания этих случайных величины равны:
-
-%EQ
-lpile {
- roman M [X] = sum from i=1 to 3 x sub i p sub i = 5 cdot 0,1 + 7 cdot 0,5 + 10 cdot 0,4 = 8 , above
- roman M [Y] = sum from i=1 to 3 y sub i p sub i = 2 cdot 0,2 + 9 cdot 0,7 + 13 cdot 0,1 = 8 .
-}
-%EN
+- Определение для случайных величин
-Дисперсия, как было сказано выше, сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. Мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания:
+Дисперсия, как было сказано выше, средняя сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. Мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания (в роли деления на число наблюдений выступает взвешивание по вероятностям в формуле математического ожидания):
%EQ
roman D [X] = roman M [(X - roman M [X]) sup 2 ] .
@@ -78,19 +49,19 @@
Напомним три факта, связанное с понятием МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины:
1 Математическое ожидание случайной величины — это число, константа: $$roman M [X] = c .$$
- 1 Константу можно вынести за знак математического ожидания: $$roman M [cX] = c roman M [X].$$
- 1 Математическое ожидание константы — это сама константа: $$roman M [c] = c .$$
+ 1 Математическое ожидание константы — это сама эта константа: $$roman M [c] = c .$$
+ 1 Константу можно вынести за знак математического ожидания: $$roman M [cX] = c roman M [X] .$$
1 Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — это линейная комбинация математических ожиадний: $$roman M [a X + b Y + c] = a roman M [X] + b roman M [Y] + c .$$
Раскроем скобки в записи дисперсии и воспользуемся свойством линейности математического ожидания:
%EQ
roman D [X] =
-roman M [X sup 2 - 2 X roman M [X] + ( roman M [X]) sup 2 ] =
-roman M [X sup 2 ] - roman M [2 X roman M [X]] + roman M [( roman M [X]) sup 2 ] .
+roman M [ X sup 2 - 2 X roman M [X] + ( roman M [X]) sup 2 ] =
+roman M [X sup 2 ] - roman M [ 2 X roman M [X] ] + roman M [ ( roman M [X]) sup 2 ].
%EN
-Рассмотрим слагаемые по отдельности. Первое слагаемое мы оставим без изменений. Из второго слагаемого мы можем вынести константу $$2 roman M [X]$$, в результате чего получим $$roman M [2 X roman M [X]] = 2 roman M [X] roman M [X] = 2 ( roman M [X]) sup 2 .$$ Под знаком математического ожидания третьего слагаемого стоит квадрат математического ожидания, т. е. тоже константа поэтому $$roman M[( roman M [X]) sup 2] = ( roman M [X]) sup 2 .$$ Запишем дисперсию, использовав преобразованные слагаемые:
+Рассмотрим слагаемые по отдельности. Первое слагаемое мы оставим без изменений. Из второго слагаемого мы можем вынести константу $$2 roman M [X]$$, в результате чего получим $$roman M [2 X roman M [X]] = 2 roman M [X] roman M [X] = 2 ( roman M [X]) sup 2 .$$ Под знаком математического ожидания третьего слагаемого стоит квадрат математического ожидания, т. е. тоже константа поэтому $$roman M[( roman M [X]) sup 2 ] = ( roman M [X]) sup 2 .$$ Запишем дисперсию, использовав преобразованные слагаемые:
%EQ
roman D [X] =
@@ -106,16 +77,53 @@
roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 .
%EN
-Рассчитаем несколько дисперсию случайных величин $$X$$ и $$Y ,$$ воспользовавшись второй формулой. Рассчитаем сначала математические ожидания квадратов случайных величин:
+- Простой пример
+
+Предположим, что у нас есть две случайных величины $$X$$ и $$Y$$, законы распределения которых заданы таблично:
+
+%EQ
+left |
+ matrix {
+ ccol {x sub i above p sub i}
+ ccol {5 above 0","1}
+ ccol {7 above 0","5}
+ ccol {10 above 0","4}
+ }
+right |
+%EN
+
+%EQ
+left |
+ matrix {
+ ccol {y sub i above p sub i}
+ ccol {2 above 0","2}
+ ccol {9 above 0","7}
+ ccol {13 above 0","1}
+ }
+right |
+%EN
+
+Математические ожидания этих случайных величины равны:
+
+%EQ
+lpile {
+ roman M [X] = sum from i=1 to 3 x sub i p sub i =
+ 5 cdot 0","1 + 7 cdot 0","5 + 10 cdot 0","4 = 8 , above
+ roman M [Y] = sum from i=1 to 3 y sub i p sub i =
+ 2 cdot 0","2 + 9 cdot 0","7 + 13 cdot 0","1 = 8 .
+}
+%EN
+
+Рассчитаем дисперсию случайных величин $$X$$ и $$Y ,$$ воспользовавшись второй формулой. Рассчитаем сначала математические ожидания квадратов случайных величин:
%EQ
lpile {
roman M [X sup 2 ] =
sum from i=1 to 3 x sub i sup 2 p sub i =
- 5 sup 2 cdot 0,1 + 7 sup 2 cdot 0,5 + 10 sup 2 cdot 0,4 = 67, above
+ 5 sup 2 cdot 0","1 + 7 sup 2 cdot 0","5 + 10 sup 2 cdot 0","4 = 67, above
roman M [Y sup 2 ] =
sum from i=1 to 3 y sub i sup 2 p sub i =
- 2 sup 2 cdot 0,2 + 9 sup 2 cdot 0,7 + 13 sup 2 cdot 0,1 = 74,4 .
+ 2 sup 2 cdot 0","2 + 9 sup 2 cdot 0","7 + 13 sup 2 cdot 0","1 = 74","4 .
}
%EN
@@ -128,7 +136,7 @@
67 - 8 sup 2 = 3 above
roman D [X] =
roman M [X sup 2 ] - ( roman M [X]) sup 2 =
- 74,4 - 8 sup 2 = 10,4
+ 74","4 - 8 sup 2 = 10","4
}
%EN