@@ -1,11 +1,54 @@
-- Линейное программирование
+= Линейное программирование
 
--- Общая постановка задачи линейного программирования
+	Линейное программирование : Раздел прикладной математики, занимающийся нахождением оптимиумов линейных функций при линейных ограничениях.
+
+Частными случаями линейного программирования является ЦелочисленноеПрограммирование и дробно-линейное программирование.
+
+В данной статье все вектора по умолчанию являются векторами-строками. Внимательно следите за размерностями матриц и векторов по ходу объяснения.
+
+- Общая постановка задачи линейного программирования
 
 Предположим, что у нас есть линейная функция 
-$$f( bold x ) = bold cx sup roman T = sum from i=1 to n c sub i x sub i = c sub 1 x sub 1 + c sub 2 x sub 2 + ldots + c sub i x sub i + ldots + c sub n x sub n ~ ,$$
-где $$bold c = (c sub 1 , c sub 2 , ldots , c sub i , ldots , c sub n )$$ — вектор коэффициентов, $$bold x = (x sub 1 , x sub 2 , ldots , x sub i , ldots , x sub n )$$ — вектор переменных. Эту функцию будем называть целевой функцией или функцией цели.
 
-Задача линейного программирования (ЗЛП) заключается в нахождении такого вектора $$bold x,$$ при котором целевая функция $$f( bold x )$$ примет своё наименьшее значение.
+%EQ
+f( bold x ) = bold cx sup roman T = sum from i=1 to n c sub i x sub i = c sub 1 x sub 1 + ldots + c sub n x sub n ~ ,
+%EN
+
+где $$bold c = (c sub 1 , ldots , c sub n )$$ — вектор коэффициентов, $$bold x = (x sub 1 , ldots , x sub n )$$ — вектор переменных. 
+
+Эту линейную функцию будем называть целевой функцией или функцией цели.
+
+Задача линейного программирования (ЗЛП) заключается в нахождении такого вектора $$bold x,$$ при котором целевая функция $$f( bold x )$$ примет своё наименьшее значение. 
+
+Формальная математическая запись ЗЛП будет выглядеть следующим образом:
+
+%EQ
+min from bold x f( bold x ).
+%EN
+
+Любая задача на нахождение максимума линейной целевой функции может быть сведена к задаче на минимум. Для этого достаточно умножить целевую функцию на минус единицу:
+
+%EQ
+max from bold x f( bold x ) ~ \(ti ~ min from bold x (-f( bold x )).
+%EN
+
+Наиболее важным разделением ЗЛП является разделение на безусловные и условные ЗЛП. Формулировка безусловной ЗЛП приведена выше. Такие задачи встречаются относительно нечасто. Более частыми и востребованными в реальной практике (в задачах управления/самоуправления в технических, экономических и проч. системах) являются условные ЗЛП. Условная ЗЛП формулируется как безусловная ЗЛП и ограничения на модели, которые задаются линейными уравнениями и/или неравенствами. Приведём пример:
+
+%EQ
+min from bold x f( bold x ) ~ ,
+%EN
+при условии
+
+%EQ
+A bold x sup roman T >= bold b sup roman T ~ ,
+%EN
+
+где $$A$$ — матрица коэффициентов линейных ограничений (содержит $$m$$ неравенств), а вектор $$bold b$$ — вектор свободных членов линейных ограничений.
+
+Условная ЗЛП, приведённая выше, называется основной задачей линейного программирования (ОЗЛП). Задача, в которой все ограничения являются равенствами называется канонической задачей линейного программировани (КЗЛП). ОЗЛП можно свести к КЗЛП путём переноса в левую часть правой части и вычитания из левой части вектора $$bold d sup roman T,$$ который называют вектором инструментальных переменных (вроде бы).
+
+- Методы решения задач линейного программирования
+
+Одним из наиболее эффективных методов решения ЗЛП является СимплексМетод.
 
-# КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияЛинейнаяАлгебра
+# КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияЛинейноеПрограммирование | КатегорияЛинейнаяАлгебра