@@ -1,13 +1,62 @@
-- Метод максимального правдоподобия
+= Метод максимального правдоподобия
 
-Пусть выборка $$bold x = (x sub 1 , x sub 2, ldots , x sub n )$$ — данные о доле брака в общем выпуске некоторого предприятия за $$n$$ дней. 
+Допустим, выборка $$bold x = (x sub 1 , x sub 2 , ldots , x sub n )$$ состоит из $$n$$ независимых случайных величин.
 
-Мы предполагаем, что эта величина распределена нормально: $$bold x \(ti N ( mu , sigma sup 2 ).$$ Кроме того, мы предполагаем, что элементы выборки являются независмыми случайными величинами.
+Мы предполагаем, что $$bold x$$ имеет нормальное распределение. Нормальных распределений бесконечно много, каждое из них задаётся двумя параметрами: математическим ожиданием $$mu$$ и дисперсией $$sigma sup size -2 2$$.
 
-Наша задача — найти такие значения математического ожидания $$mu hat$$ и дисперсии $${sigma sup 2} hat$$, которые бы давали наилучшим образом описывали нашу выборку. Другими словами, нам надо найти наилучшее распределение из всего семейства нормальных распределений.
+Наша задача — найти такое распределение из множества возможны нормальных распределений, которое бы наилучшим образом описывало нашу выборку. Иными словами, нам нужно найти такие $$mu hat$$ и $${sigma sup size -2 2} hat$$, чтобы они задавали самое близкое к имеющейся выборке нормальное распределение.
 
-Для этого используется функция правдободобия Фишера: $$size +5 Pi from i=1 to n p(x sub i ),$$ где $$p(x)$$ — функция плотности распределения случайной величины. В нашем случае $$p(x) = 1 over {sigma sqrt {2 pi}} e sup {- {(x - mu ) sup 2} over {2 sigma sup 2}} .$$
-
-От вычислительно ёмкой операции умножения можем перейти к вычислительно более простой операции сложения, используя монотонное преобразование взятия натурального лографима: $$L = roman ln ( size +5 Pi from i=1 to n p(x sub i ))$$
+Для этого используем функцию правдоподобия: $$size +4 Pi from i=1 to n p(x sub i ), $$ где  $$p(x)$$ — функция плотности распределения вероятности (в нашем примере — функция плотности вероятности нормального распределения). Наша задача, таким образом превращается в нахождение таких параметров нормального распределения, при которых эта функция принимает максимальное значение.
+
+Для удобства часто (почти всегда) целесообразоно провести монотонное преобразование функции правдоподобия, прологарифмировав её, чтобы перейти от умножения к сложению. Полученную функцию $$L$$ будем называть логарифмической функцией правдоподобия:
+
+%EQ
+L = 
+ln size +4 Pi from i=1 to n p(x sub i ) = 
+size +4 sum from i=1 to n ln p(x sub i ).
+%EN
+
+В нашем примере с нормальным распределением 
+$$p(x) = size -2 1 over size -2 {sigma sqrt {2 pi}} e sup { size -1 - ~ size +1 {(x - mu ) sup 2}over size +1 {2 sigma sup 2}},$$ функция $$L$$ будет иметь вид:
+
+%EQ
+L = 
+size +4 sum from i=1 to n ln left (
+size -2 1 over size -2 {sigma sqrt {2 pi}} e sup { size -1 - ~ size +1 {(x sub i - mu ) sup 2}over size +1 {2 sigma sup 2}}
+right ) = 
+size +4 sum from i=1 to n left (
+ln left (
+1 over {sigma sqrt {2 pi}}
+right )
+-
+{(x sub i - mu )} sup 2 over {2 sigma sup 2}
+right ) = 
+size +4 sum from i=1 to n left (
+ln left (
+2 pi sigma sup 2
+right ) sup {-{1 over 2}}
+-
+{(x sub i - mu )} sup 2 over {2 sigma sup 2}
+right ) .
+%EN
+
+В результате преобразований получим:
+
+%EQ
+L = 
+{- {n over 2}} ln (2 pi sigma sup 2 ) - 
+{1 over {2 sigma sup 2}} size +4 sum from i=1 to n (x sub i - mu ) sup 2 .
+%EN
+
+Необходимое условие максимума функции $$L:$$
+
+%EQ
+left {
+lpile {
+{partial L} over {partial mu} = 0, above
+{partial L} over {partial sigma sup 2} = 0
+}
+right nothing
+%EN
 
 # КатегорияПрикладнаяМатематика