@@ -1,25 +1,62 @@
-- Метод максимального правдоподобия
+= Метод максимального правдоподобия
 
 Допустим, выборка $$bold x = (x sub 1 , x sub 2 , ldots , x sub n )$$ состоит из $$n$$ независимых случайных величин.
 
-Мы предполагаем, что $$bold x$$ имеет нормальное распределение. Нормальных распределений бесконечно много. Каждое из них задаётся двумя параметрами: математическим ожиданием $$mu$$ и дисперсией $$sigma sup size -2 2$$.
+Мы предполагаем, что $$bold x$$ имеет нормальное распределение. Нормальных распределений бесконечно много, каждое из них задаётся двумя параметрами: математическим ожиданием $$mu$$ и дисперсией $$sigma sup size -2 2$$.
 
-Наша задача — найти такое распределение из семейства нормальных, которое бы наилучшим образом описывало нашу выборку. Иными словами, нам нужно найти такие $$mu hat$$ и $${sigma sup size -2 2} hat$$, чтобы они задавали самое близкое к имеющейся выборке нормальное распределение.
+Наша задача — найти такое распределение из множества возможны нормальных распределений, которое бы наилучшим образом описывало нашу выборку. Иными словами, нам нужно найти такие $$mu hat$$ и $${sigma sup size -2 2} hat$$, чтобы они задавали самое близкое к имеющейся выборке нормальное распределение.
 
-Для этого используем функцию правдоподобия Фишера: $$size +4 Pi from i=1 to n p(x sub i ), $$ где  $$p(x)$$ — функция плотности распределения вероятности (в нашем примере — функция плотности вероятности нормального распределения).
+Для этого используем функцию правдоподобия: $$size +4 Pi from i=1 to n p(x sub i ), $$ где  $$p(x)$$ — функция плотности распределения вероятности (в нашем примере — функция плотности вероятности нормального распределения). Наша задача, таким образом превращается в нахождение таких параметров нормального распределения, при которых эта функция принимает максимальное значение.
 
-Для удобства часто (почти всегда) целесообразоно провести монотонное преобразование функции правдоподобия, прологарифмировав её, чтобы перейти от умножения к сложению. Это корректно с математической т. з., т. к. мы предполагаем независимость величин в выборке.
+Для удобства часто (почти всегда) целесообразоно провести монотонное преобразование функции правдоподобия, прологарифмировав её, чтобы перейти от умножения к сложению. Полученную функцию $$L$$ будем называть логарифмической функцией правдоподобия:
 
 %EQ
 L = 
-ln ( size +4 Pi from i=1 to n p(x sub i )) = 
+ln size +4 Pi from i=1 to n p(x sub i ) = 
 size +4 sum from i=1 to n ln p(x sub i ).
 %EN
 
-Функцию $$L$$ будем называть логарифмической функцией правдоподобия.
+В нашем примере с нормальным распределением 
+$$p(x) = size -2 1 over size -2 {sigma sqrt {2 pi}} e sup { size -1 - ~ size +1 {(x - mu ) sup 2}over size +1 {2 sigma sup 2}},$$ функция $$L$$ будет иметь вид:
 
-В нашем примере 
-$$p(x) =  size -2 1 over size -2 {sigma sqrt {2 pi}} e sup { size -1 - ~ size +1 {(x - mu ) sup 2} over size +1 {2 sigma sup 2}} ,$$
-поэтому $$L = size +4 sum from i=1 to n ln left ( size -2 1 over size -2 {sigma sqrt {2 pi}} e sup { size -1 - ~ size +1 {(x sub i - mu ) sup 2} over size +1 {2 sigma sup 2}} right )$$
+%EQ
+L = 
+size +4 sum from i=1 to n ln left (
+size -2 1 over size -2 {sigma sqrt {2 pi}} e sup { size -1 - ~ size +1 {(x sub i - mu ) sup 2}over size +1 {2 sigma sup 2}}
+right ) = 
+size +4 sum from i=1 to n left (
+ln left (
+1 over {sigma sqrt {2 pi}}
+right )
+-
+{(x sub i - mu )} sup 2 over {2 sigma sup 2}
+right ) = 
+size +4 sum from i=1 to n left (
+ln left (
+2 pi sigma sup 2
+right ) sup {-{1 over 2}}
+-
+{(x sub i - mu )} sup 2 over {2 sigma sup 2}
+right ) .
+%EN
+
+В результате преобразований получим:
+
+%EQ
+L = 
+{- {n over 2}} ln (2 pi sigma sup 2 ) - 
+{1 over {2 sigma sup 2}} size +4 sum from i=1 to n (x sub i - mu ) sup 2 .
+%EN
+
+Необходимое условие максимума функции $$L:$$
+
+%EQ
+left {
+lpile {
+{partial L} over {partial mu} = 0, above
+{partial L} over {partial sigma sup 2} = 0
+}
+right nothing
+%EN
 
 # КатегорияПрикладнаяМатематика