@@ -1,23 +1,21 @@
-- Метод множителей Лагранжа
+= Метод множителей Лагранжа
 
-----
 	To Do:
-		* переписать общее описание метода,
-		* переписать функцию под векторную запись,
-		* матрица технологических коэффициентов,
-		* запись примера в матричной форме.
+
+		* геометрическая интерпретация ММЛ на ещё одном примере,
+		* картинки для экономического примера.
 
 	все картинки разом: http://rextester.com/LOJ42439
 
 ----
 
-Метод множителей Лагранжа (ММЛ) — метод решения условных задач математического программирования. Основная идея ММЛ — учёт ограничений в исследуемой функции наряду с целевой функцией задачи. Данный метод позволяет найти экстремумы целевой функции при наличии ограничений, задаваемых равенствами. Выполнение ограничений как строгих равенств позволяет сказать, что ММЛ — частный случай МетодКарушаКунаТаккера (в котором ограничения являются нестрогими неравенствами).
+Метод множителей Лагранжа (ММЛ) — метод решения условных задач математического программирования. Основная идея ММЛ — исследование целевой функции и задаваемых ограничений совместно в рамках одной функции. Данный метод позволяет найти экстремумы целевой функции при наличии ограничений, задаваемых равенствами. Выполнение ограничений как строгих равенств позволяет сказать, что ММЛ — частный случай МетодКарушаКунаТаккера (в котором ограничения являются нестрогими неравенствами).
 
-Не надо путать ММЛ с методом Лагранжа: первое — метод решения задач математического (в т. ч. нелинейного) программирования, второе — метод общего решения однородного дифференциального уравнения через вариацию (изменение) постоянной — месье Лагранж был весьма плодовитым математиком и дал имена очень многим математическим объектам, методам, принципам и формулам (почти как герр Эйлер). Также есть связанный метод приведения матрицы к каноническому виду, носящий имя Жозефа Луи Лагранжа.
+Не надо путать ММЛ с методом Лагранжа: первое — метод решения задач математического (в т. ч. нелинейного) программирования, второе — метод общего решения однородного дифференциального уравнения через вариацию (изменение) постоянной — месье Жозеф Луи Лагранж был весьма плодовитым математиком (почти как герр Эйлер) и дал имена очень многим математическим объектам, методам, принципам и формулам. Также есть связанный метод приведения матрицы к каноническому виду, носящий имя Лагранжа.
 
--- Общая постановка задачи
+- Общая постановка задачи
 
-Мы хотим найти экстремум функции $$f( bold x ) = f(x sub 1 , x sub 2 ,  ldots , x sub n )$$. Функция $$f ( bold x )$$ — очень хорошая: она дифференцируема (имеет производную) в каждой точке (на всей) области своего определения (такие функции в курсе математического анализа обычно называют ''гладкими''). Помимо функции, экстремум(ы) которой мы хотим найти, в нашей задаче присутствуют ограничения. Ограничения выражают связь переменных функции между собой и могут быть представлены в виде функций:
+Мы хотим найти экстремум функции $$f( bold x ) = f(x sub 1 , x sub 2 ,  ldots , x sub n )$$. Функция $$f ( bold x )$$ — очень хорошая: она дифференцируема на всей области своего определения (т. е. имеет производную в каждой точке, где функция существует) — такие функции в курсе математического анализа обычно называют ''гладкими''. Помимо функции, экстремум(ы) которой мы хотим найти, в нашей задаче присутствуют ограничения, задаваемые равенствами. Ограничения выражают связь переменных функции между собой и могут быть представлены в виде функций:
 
 %EQ
 left {
@@ -32,11 +30,11 @@
 right nothing 
 %EN
 
-Заметим, что ограничения — тоже хорошие (гладкие) функции. Заметим, что если ограничения несовместны (их пересечение — пустое множество), то задача оптимизации теряет свой смысл. Но в нашем примере будем полагать, что ограничения хороши не только сами по себе, но и в совокупности.
+Отметим, что ограничения — тоже хорошие (гладкие) функции. Заметим также, что если ограничения несовместны (их пересечение — пустое множество), то задача оптимизации теряет свой смысл. Но в нашем примере будем полагать, что ограничения хороши не только сами по себе, но и в совокупности.
 
 За отклонения от (за невыполнение)  ограничений мы будет получать штраф. Штраф, соответствующий $$i$$-ому ограничения обозначим $$lambda sub i$$ и получим вектор штрафов $$lambda = ( lambda sub 1 , lambda sub 2 , ldots , lambda sub m )$$.
 
-Из начальной функции, которую мы оптимизируем, вектора штрафов и ограничений мы можем составить функцию, включающую в себя ограничения:
+Из начальной функции, которую мы оптимизируем, вектора штрафов и ограничений мы можем составить функцию, включающую в себя все элементы нашей оптимизационной задачи:
 
 %EQ
 L( bold x , lambda ) = f( bold x ) - sum from i=1 to m lambda sub i g sub i ( bold x ) =
@@ -44,13 +42,13 @@
 sum from i=1 to m lambda sub i g sub i ( x sub 1 , x sub 2 , ldots , x sub n ) .
 %EN
 
-Эта функция называется ''лагранжианом'' в честь её автора, уже упомянутого выше месье Жозефа Луи Лагранжа, кавалера ордена Почётного Легиона, любимого математика и постоянного собеседника Наполеона Бонапарта, подарившего нам этот метод. Лагранжиан интересен нам, поскольку точка, в которой его производные по $$bold x$$ и по $$lambda$$ обращаются в ноль может быть экстремальным значением (а может и не быть, это может быть седловая точка — точка перегиба). Таким образом, равенство первых производных лагранжиана по расширенному списку переменных — это лишь необходимое условие экстремума. Запишем данное условие (условие первого порядка), которое будет состоять из $$n + m$$ равенств:
+Эта функция называется ''лагранжианом'' в честь её автора, уже упомянутого выше месье Жозефа Луи Лагранжа, кавалера ордена Почётного Легиона, любимого математика и постоянного собеседника Наполеона Бонапарта, подарившего нам этот метод. Лагранжиан интересен нам поскольку точка, в которой его производные по $$bold x$$ и по $$lambda$$ обращаются в ноль может быть экстремальным значением (а может и не быть, это может быть седловая точка — точка перегиба). Таким образом, равенство первых производных лагранжиана по расширенному списку переменных — это лишь необходимое условие экстремума. Запишем данное условие (условие первого порядка), которое будет состоять из $$n + m$$ равенств:
 
 %EQ
 size -2 { partial L ( bold x , lambda )} over size -2 { partial x sub 1} = 
-size -2 { partial L ( bold x , lambda )} over size -2 { partial x sub 2} = cdots
+size -2 { partial L ( bold x , lambda )} over size -2 { partial x sub 2} = cdots =
 size -2 { partial L ( bold x , lambda )} over size -2 { partial x sub n} =
-size -2 { partial L ( bold x , lambda )} over size -2 { partial lambda sub 1} = cdots 
+size -2 { partial L ( bold x , lambda )} over size -2 { partial lambda sub 1} = cdots =
 size -2 { partial L ( bold x , lambda )} over size -2 { partial lambda sub m} = 0.
 %EN
 
@@ -64,19 +62,11 @@
 
 -- Минимальная ёмкость заданного объёма
 
-Нам необходим резервуар
-заданного объёма $$V$$,
-имеющий форму прямоугольного параллелипипеда
-(четыре стенки и дно).
-Необходимо найти параметры такого резервуара
-(длину, ширину и глубину),
-минимизирующие суммарную площадь поверхности резервуара
-(например, с целью уменьшения теплопотерь или снижения затрат на создание такого резервуара).
-
-Пусть $$a, b, c > 0$$ — длина, ширина и глубина резервуара.
-Функция площади поверхности $$S (a, b, c) = ab + 2ac + 2bc$$.
-Ограничение в этой задаче — объём: $$abc = V$$ или $$abc - V = 0$$.
-Лагранжиан этой задачи будет выглядеть следующим образом: 
+Нам необходим резервуар заданного объёма $$V$$,имеющий форму прямоугольного параллелипипеда
+(четыре стенки и дно). Необходимо найти параметры такого резервуара (длину, ширину и глубину),
+минимизирующие суммарную площадь поверхности резервуара (например, с целью уменьшения теплопотерь, снижения затрат на создание такого резервуара или уменьшения эксплуатационных расходов: меньший по площади резервуар быстрее вымыть).
+
+Пусть $$a, b, c > 0$$ — длина, ширина и глубина резервуара. Функция площади поверхности $$S (a, b, c) = ab + 2ac + 2bc$$. Ограничение в этой задаче — объём: $$abc = V$$ или $$abc - V = 0$$. Лагранжиан этой задачи будет выглядеть следующим образом: 
 
 %EQ
 L(a, b, c, lambda ) = ab + 2ac + 2bc - lambda (abc - V).
@@ -95,6 +85,9 @@
 right nothing
 %EN
 
+
+Обратим внимание на следующий факт: дифференцирование по элементам вектора штрафа (в нашем примере это единственный параметр $$lambda$$) даёт нам в точности исходные ограничения.
+
 Выразив из 1-3 уравнений параметр $$lambda$$ получим следующее равенство:
 
 %EQ
@@ -103,13 +96,13 @@
 
 Из части $${b + 2c} over {bc} = {a + 2c} over {ac}$$ видно, что $$a = b$$. Из следующей части равенства $${a + 2c} over {ac} = {2 (a + b)} over {ab}$$ после несложных арифметических преобразований следует, что $$a = 2c$$.
 
-В итоге получаем, что для достижения минимальной площади необходимо, чтобы основание сосуда было квадратным, а его высота — половиной от стороны основания. Для конкретных численных вычислений можно воспользоваться наши ограничением: $$V = abc = 2c cdot 2c cdot c = 4 c sup 3$$, то есть $$c =  { left ( { V / 4 } right ) } sup size -2 { { 1 over 3 } }$$.
+В итоге получаем, что для достижения минимальной площади необходимо, чтобы основание сосуда было квадратным, а его высота — половиной от стороны основания. Для практических вычислений можно воспользоваться нашим ограничением, выразив стороны через объём: $$V = abc = 2c cdot 2c cdot c = 4 c sup 3$$, то есть $$c =  { left ( { V / 4 } right ) } sup size -2 { { 1 over 3 } }$$. 
 
 Пример: для объёма $$V = 32"\h|2p|"000$$ куб. ед. будет оптимален резервуар с параметрами $$40 times 40 times 20$$ ед.
 
 Формально, нам необходимо получить матрицу вторых частных производных (называемую также матрицей Гессе или гессианом), чтобы доказать, что полученная тами точка — точка минимума. Однако, можно заметить, что лагранжиан — линейная комбинация выпуклых функций (линейная функция и выпукла и вогнута одновременно, здесь нам удобно рассматривать её как выпуклую), т. е. сам является выпуклой функцией. А подозрительная на экстремум точка выпуклой функции — всегда минимум (проверить).
 
--- Оптимальный производственный план
+- Оптимальный производственный план
 
 Некое предприятие производит два товара ($$x sub 1$$ и $$x sub 2$$): сумки и чемоданы. Для производства одной сумки требуется 4 единиц кожи и 5 единиц фурнитуры (заклёпки и проч.), для производства одного чемодана — 8 единиц кожи и 4 единицы фурнитуры. На складе предприятия находится следующий объём запасов: 2800 единиц кожи и 2000 единиц фурнитуры. Предприятие получет 10 алтын ЕАЭС прибыли с одной сумки и 15 алтын ЕАЭС  — с чемодана. Наша задача: составить такой производственный план, который бы принёс предприятию максимальную прибыль.