@@ -1,6 +1,5 @@
-- Метод множителей Лагранжа
+= Метод множителей Лагранжа
 
-----
 	To Do:
 
 		* геометрическая интерпретация ММЛ на ещё одном примере,
@@ -14,7 +13,7 @@
 
 Не надо путать ММЛ с методом Лагранжа: первое — метод решения задач математического (в т. ч. нелинейного) программирования, второе — метод общего решения однородного дифференциального уравнения через вариацию (изменение) постоянной — месье Жозеф Луи Лагранж был весьма плодовитым математиком (почти как герр Эйлер) и дал имена очень многим математическим объектам, методам, принципам и формулам. Также есть связанный метод приведения матрицы к каноническому виду, носящий имя Лагранжа.
 
--- Общая постановка задачи
+- Общая постановка задачи
 
 Мы хотим найти экстремум функции $$f( bold x ) = f(x sub 1 , x sub 2 ,  ldots , x sub n )$$. Функция $$f ( bold x )$$ — очень хорошая: она дифференцируема на всей области своего определения (т. е. имеет производную в каждой точке, где функция существует) — такие функции в курсе математического анализа обычно называют ''гладкими''. Помимо функции, экстремум(ы) которой мы хотим найти, в нашей задаче присутствуют ограничения, задаваемые равенствами. Ограничения выражают связь переменных функции между собой и могут быть представлены в виде функций:
 
@@ -97,13 +96,13 @@
 
 Из части $${b + 2c} over {bc} = {a + 2c} over {ac}$$ видно, что $$a = b$$. Из следующей части равенства $${a + 2c} over {ac} = {2 (a + b)} over {ab}$$ после несложных арифметических преобразований следует, что $$a = 2c$$.
 
-В итоге получаем, что для достижения минимальной площади необходимо, чтобы основание сосуда было квадратным, а его высота — половиной от стороны основания. Для конкретных численных вычислений можно воспользоваться наши ограничением: $$V = abc = 2c cdot 2c cdot c = 4 c sup 3$$, то есть $$c =  { left ( { V / 4 } right ) } sup size -2 { { 1 over 3 } }$$. 
+В итоге получаем, что для достижения минимальной площади необходимо, чтобы основание сосуда было квадратным, а его высота — половиной от стороны основания. Для практических вычислений можно воспользоваться нашим ограничением, выразив стороны через объём: $$V = abc = 2c cdot 2c cdot c = 4 c sup 3$$, то есть $$c =  { left ( { V / 4 } right ) } sup size -2 { { 1 over 3 } }$$. 
 
 Пример: для объёма $$V = 32"\h|2p|"000$$ куб. ед. будет оптимален резервуар с параметрами $$40 times 40 times 20$$ ед.
 
 Формально, нам необходимо получить матрицу вторых частных производных (называемую также матрицей Гессе или гессианом), чтобы доказать, что полученная тами точка — точка минимума. Однако, можно заметить, что лагранжиан — линейная комбинация выпуклых функций (линейная функция и выпукла и вогнута одновременно, здесь нам удобно рассматривать её как выпуклую), т. е. сам является выпуклой функцией. А подозрительная на экстремум точка выпуклой функции — всегда минимум (проверить).
 
--- Оптимальный производственный план
+- Оптимальный производственный план
 
 Некое предприятие производит два товара ($$x sub 1$$ и $$x sub 2$$): сумки и чемоданы. Для производства одной сумки требуется 4 единиц кожи и 5 единиц фурнитуры (заклёпки и проч.), для производства одного чемодана — 8 единиц кожи и 4 единицы фурнитуры. На складе предприятия находится следующий объём запасов: 2800 единиц кожи и 2000 единиц фурнитуры. Предприятие получет 10 алтын ЕАЭС прибыли с одной сумки и 15 алтын ЕАЭС  — с чемодана. Наша задача: составить такой производственный план, который бы принёс предприятию максимальную прибыль.