@@ -1,6 +1,5 @@
-- Метод наименьших квадратов
+= Метод наименьших квадратов
 
-----
 	* ''''''ToDo'''''' статьи:
 		1 http://rextester.com/DPAQ80544 — реальный пример
 		1 картинки: http://rextester.com/DUX29094
@@ -13,9 +12,9 @@
 
 В данной статье все вектора по умолчанию являются векторами-столбцами. Внимательно следите за размерностями матриц и векторов по ходу объяснения. Запись многочленов будет обратной, т. е. не $$y = b sub 2 x + b sub 1,$$ а $$y = b sub 1 + b sub 2 x .$$
 
--- Простейший случай
+- Простейший случай
 
---- Общая постановка задачи
+-- Общая постановка задачи
 
 Допустим, в рамках некого эксперимента было проведено $$n$$ измерений ¹). Каждое измерение представляет собой пару $$(x sub i , y sub i ),$$ где $$x sub i$$ — ''вход'', $$y sub i$$ — ''выход'' (такую пару будем называть «точкой»).
 
@@ -50,7 +49,7 @@
 
 Таким образом, нам нужна такая линейная функция, для которой общее отклонение реальных экспериментальных значений от оценок было бы наименьшим. При этом общее отклонение не обязательно должно быть измерено как сумма отклонений для всех измерений.
 
---- Выбор способа «подгонки»
+-- Выбор способа «подгонки»
 
 Существует большое количество способов измерить общее отклонение реальных экспериментальных значений от их оценок. Приведём самые очевидные из них:
 
@@ -68,9 +67,9 @@
 
 Третий способ, давший имя методу наименьших квадратов, позволяет избежать проблем, связанных с робастностью. Более сильные отклонения вносят бо́льшие вклады, а слабые отклонения нивелируются — взаимного погашения при этом возникнуть не может, т. к. квадрат числа неотрицателен. Вместе с этим, уходит и проблема, связанная с дифференцированием: квадратическая функция является всюду дифференцируемой. Этим, а также и другими причинами (в том числе и причинами, выявленными А. А. Марковым в связи с использованием МНК в статистическом оценивании), был обусловлен выбор способа.
 
-Таким образом мы можем формализовать описанную нами задачу: необходимо наити такие значения коэффициентов $$b sub 1$$ и $$b sub 2$$, при которых функция $$Q = sum from i=1 to n d sub i sup 2$$ примет наименьшее значение.
+Таким образом мы можем формализовать описанную нами задачу: необходимо найти такие значения коэффициентов $$b sub 1$$ и $$b sub 2$$, при которых функция $$Q = sum from i=1 to n d sub i sup 2$$ примет наименьшее значение.
 
---- Математическая формализация
+-- Математическая формализация
 
 %EQ
 roman argmin from {b sub 1 , ~ b sub 2} ~ Q = 
@@ -379,9 +378,9 @@
 
 Матрица вторых частных производных, таким образом, по критерию Сильвестра явлется положительно определённой, что даёт нам основания утверждать, что полученное решение — точка минимума функции $$Q$$.
 
--- Множественный случай
+- Множественный случай
 
---- Общая постановка задачи
+-- Общая постановка задачи
 
 Расширим наш эксперимент: по-прежнему было проведено $$n$$ измерений, но замерялся не один вход, а $$m$$ различных входов (выход по-прежнему один).
 
@@ -419,7 +418,7 @@
 
 Сумма квадратов отклонений может быть получена как $$Q = bold d sup roman T bold d.$$ Нам необходимо, найти такой вектор $$bold b$$, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальна:
 
---- Математическая формализация
+-- Математическая формализация
 
 %EQ
 roman argmin from bold b ~  Q =
@@ -466,7 +465,7 @@
 size -2 {{partial} over {partial bold b} cdot {partial Q} over {partial bold b}} = 
 size -2 {{partial left ( -2 X sup roman T bold y + 2 X sup roman T X bold b right ) } 
 over {partial bold b}} =
-2 X sup roman T X  = 0
+2 X sup roman T X
 %EN
 
 Напомним ещё один факт из линейной алгебры. Если некоторая матрица $$A$$ положительно определена, то это в том числе означает, что для любого ненулевого вектора $$bold z$$ подходящей размерности будет выполнятся следующее:
@@ -488,7 +487,7 @@
 
 Вернёмся к нашему примеру: $$size -2 {{partial Q} over {partial sup 2 bold b}} = 2 X sup roman T X$$ — умножение на скаляр не изменит определённости матрицы, а в силу рассуждений, приведённых выше, мы можем смело утверждать, что матрица вторых производных положительно определена, значит, найденное нами решение — точка минимума функции $$Q .$$
 
--- Список литературы
+- Список литературы
 
 %R(
 
@@ -526,17 +525,9 @@
 %P 21-38
 %U http://egei.vse.cz/english/wp-content/uploads/2012/08/mostly+harmeless+econometrics.pdf
 
-%A Атрашкевич Андрей Анатольевич
-%A Ситкарев Григорий Александрович
-%T Занимательная эконометрика для дошкольников
-%I Издательство Лаборатории прикладной математики и программирования
-%D 2015
-%C Сыктывкар
-%P 65
-
 %R)
 
--- Примечания
+- Примечания
 
 ¹) В случае, если МНК используется для обработки социально-экономических данных, вместо «измерение» говорят «наблюдение», вместо «опыт» — «статистическое наблюдение».