@@ -1,14 +1,41 @@
-- Преобразование Фурье
+= Преобразование Фурье
 
 	Только не кидайте меня в терновый куст! : Сказки дядюшки Римуса.
 
 Тезисы:
-	* Сигнал представляется как функция по времени: зависимость амплитуды от времени (по абсциссе — время, по ординате — амплитуда). Это представление сигнала — представление в домене времени.
+	* Сигнал представляется как функция по времени: зависимость амплитуды от времени (по оси абсцисс — время, по оси ординат — амплитуда). Это представление сигнала — представление в домене времени.
 	* Это представление неудобно (почему? потому что бесполезно, например ЭКГ, сейсмические данные — проблемы с сердцем или сейсмическую активность, соответствующую землетрясению, фиксируют по частотам). Удобнее анализировать сигнал в частотном представлении (представление в домене частот).
+	* В домене частот сигнал представляется так: по оси абсцисс — частота (вместо времени), по оси ординат — амплитуда.
 	* Преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена времени в домен частот. Обратное преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена частот в домен времени.
 	* Зачем эти преобразования? Легче перевести сигнал из домена времени в домен частот, выявить закономерности, а потом перевести полученные результаты обратно в домен времени.
 	* Фурье решал своё именное дифференциальное уравнение теплопроводности (для краевой задачи — задачи нагревания стержня). Уравнение было аналитически неразрешимо, поэтому он и придумал преобразование имени себя.
 	* Функция в домене времени — функция действительного (вещественного) аргумента — называется функцией-прообразом. Функция в домене частот — функция комплексного аргумента — называется Фурье-образом или просто образом. Это похоже на логику дифференцирования и интегрирования.
-	* Комплексный аргумент имеет две части: действительную и мнимую — что позволяет одним комплексным числом описывать процесс, характеристиками которого являются амплитуда и фаза (дайте, пожалуйста, комплексный обед с мнимым мясом). 
+	* Комплексный аргумент имеет две части: действительную и мнимую — что позволяет одним комплексным числом описывать процесс, характеристиками которого являются амплитуда и частота (дайте, пожалуйста, комплексный обед с мнимым мясом).
 
-# КатегорияИнтегральныеПреобразования
+Предположим, у нас есть сигнал, описываемый в домене времени функцией $$f(t) = sin (4 pi t) ,$$ переведём его в доме частот, использя преобразование Фурье: 
+
+%EQ
+f hat ( omega ) = size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} size +4 int from -\(if to +\(if f(t) roman e sup {- roman i omega t} roman d t ,
+%EN
+где $$omega$$ — частота. 
+
+Для нашего примера $$omega = 4 pi .$$
+
+Получим Фурье-образ сигнала:
+
+%EQ
+  f hat ( omega ) 
+  = 
+  size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} int from -\(if to +\(if sin (4 pi t) ~ roman e sup {-i 4 pi t} roman d t
+  =
+  size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} int from -\(if to +\(if sin (4 pi t) ~ ( sin (4 pi t) - i cos (4 pi t)) roman d t
+%EN
+
+Для перехода использовалась ФормулаЭйлера: $$roman e sup ix = cos x + i sin x$$
+
+%EQ
+  size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} left [ int from -\(if to +\(if sin sup 2 (4 pi t) roman d t - i int from -\(if to   +\(if sin (4 pi t) cos (4 pi t) roman d t right ]
+}
+%EN
+
+# КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияИнтегральныеПреобразования