Разница между 1.2
и текущей версией
ПреобразованиеФурье.
@@ -1,5 +1,41 @@
-- Преобразование Фурье
+= Преобразование Фурье
Только не кидайте меня в терновый куст! : Сказки дядюшки Римуса.
-# КатегорияИнтегральныеПреобразования
+Тезисы:
+ * Сигнал представляется как функция по времени: зависимость амплитуды от времени (по оси абсцисс — время, по оси ординат — амплитуда). Это представление сигнала — представление в домене времени.
+ * Это представление неудобно (почему? потому что бесполезно, например ЭКГ, сейсмические данные — проблемы с сердцем или сейсмическую активность, соответствующую землетрясению, фиксируют по частотам). Удобнее анализировать сигнал в частотном представлении (представление в домене частот).
+ * В домене частот сигнал представляется так: по оси абсцисс — частота (вместо времени), по оси ординат — амплитуда.
+ * Преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена времени в домен частот. Обратное преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена частот в домен времени.
+ * Зачем эти преобразования? Легче перевести сигнал из домена времени в домен частот, выявить закономерности, а потом перевести полученные результаты обратно в домен времени.
+ * Фурье решал своё именное дифференциальное уравнение теплопроводности (для краевой задачи — задачи нагревания стержня). Уравнение было аналитически неразрешимо, поэтому он и придумал преобразование имени себя.
+ * Функция в домене времени — функция действительного (вещественного) аргумента — называется функцией-прообразом. Функция в домене частот — функция комплексного аргумента — называется Фурье-образом или просто образом. Это похоже на логику дифференцирования и интегрирования.
+ * Комплексный аргумент имеет две части: действительную и мнимую — что позволяет одним комплексным числом описывать процесс, характеристиками которого являются амплитуда и частота (дайте, пожалуйста, комплексный обед с мнимым мясом).
+
+Предположим, у нас есть сигнал, описываемый в домене времени функцией $$f(t) = sin (4 pi t) ,$$ переведём его в доме частот, использя преобразование Фурье:
+
+%EQ
+f hat ( omega ) = size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} size +4 int from -\(if to +\(if f(t) roman e sup {- roman i omega t} roman d t ,
+%EN
+где $$omega$$ — частота.
+
+Для нашего примера $$omega = 4 pi .$$
+
+Получим Фурье-образ сигнала:
+
+%EQ
+ f hat ( omega )
+ =
+ size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} int from -\(if to +\(if sin (4 pi t) ~ roman e sup {-i 4 pi t} roman d t
+ =
+ size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} int from -\(if to +\(if sin (4 pi t) ~ ( sin (4 pi t) - i cos (4 pi t)) roman d t
+%EN
+
+Для перехода использовалась ФормулаЭйлера: $$roman e sup ix = cos x + i sin x$$
+
+%EQ
+ size -2 {1 over {sqrt {2 pi}}} left [ int from -\(if to +\(if sin sup 2 (4 pi t) roman d t - i int from -\(if to +\(if sin (4 pi t) cos (4 pi t) roman d t right ]
+}
+%EN
+
+# КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияИнтегральныеПреобразования