Разница между 1.163
и текущей версией
РазложениеLU.
@@ -1,4 +1,4 @@
-- LU-разложение
+= LU-разложение
----
@@ -6,35 +6,35 @@
----
--- Определение
+- Определение
LU-разложением матрицы $$A$$ называется её представление в виде произведения матриц $$LU$$:
%EQ
A =
-left (
+left [
matrix {
ccol {a sub 11 above vdots above a sub n1}
ccol {dots above ddots above dots}
ccol {a sub 1n above vdots above a sub nn}
}
-right ) =
+right ] =
LU =
-left (
+left [
matrix {
ccol {l sub 11 above vdots above l sub n1}
ccol {dots above ddots above dots}
ccol {0 above vdots above l sub nn}
}
-right )
+right ]
~
-left (
+left [
matrix {
ccol {u sub 11 above vdots above 0}
ccol {dots above ddots above dots}
ccol {u sub 1n above vdots above u sub 22}
}
-right )
+right ]
%EN
Матрица $$L$$ (от англ. «lower» — «нижний») — нижняя треугольная матрица: все элементы, находящиеся строго выше главной диагонали, являются нулями.
@@ -45,45 +45,45 @@
%EQ
B sub {(3 times 3)} =
-left (
+left [
matrix {
ccol {b sub 11 above b sub 21 above b sub 31}
ccol {b sub 12 above b sub 22 above b sub 32}
ccol {b sub 13 above b sub 23 above b sub 33}
}
-right ) =
+right ] =
LU =
-left (
+left [
matrix {
ccol {l sub 11 above l sub 21 above l sub 31}
ccol {0 above l sub 22 above l sub 32}
ccol {0 above 0 above l sub 33}
}
-right )
+right ]
~
-left (
+left [
matrix {
ccol {u sub 11 above 0 above 0}
ccol {u sub 12 above u sub 22 above 0}
ccol {u sub 13 above u sub 23 above u sub 33}
}
-right )
+right ]
%EN
-Нужно отметить, что в данном примере матрица $$roman B sub {(3 times 3)}$$ должна быть невырожденной.
+Нужно отметить, что в данном примере матрица $$B sub {(3 times 3)}$$ должна быть невырожденной.
--- Использование LU-разложения
+- Использование LU-разложения
LU-разложение позволяет эффективно выполнять следующие действия:
- 1 Решение матричных уравнений вида $$A bold x = bold b$$.
+ 1 Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида $$A bold x = bold b$$.
1 Вычисление определителя матрицы $$A$$ : $$roman det (A)$$.
1 Обращение матрицы $$A$$ : $$A \(-> A sup -1$$.
---- Решение матричных уравнений
+-- Решение матричных уравнений
-Решение матричных уравнений вида $$A bold x = bold b$$.
+Решение СЛАУ вида $$A bold x = bold b$$.
-После LU-разложения матрицы $$A$$ можем записать исходное матричное уравнение $$A bold x = bold b$$ в виде:
+После LU-разложения матрицы $$A$$ можем записать исходное СЛАУ $$A bold x = bold b$$ в виде:
%EQ
LU bold x = bold b
@@ -103,36 +103,36 @@
В итоге получив искомый вектор $$bold x$$.
---- Вычисление определителя
+-- Вычисление определителя
Вычисление определителя матрицы $$A$$ : $$roman det (A)$$.
-Если $$A = LU$$, то $$roman det(A) = det( roman LU ) = det( roman L) ~ det( roman U)$$.
+Если $$A = LU$$, то $$roman det (A) = roman det (LU) = roman det (L) ~ roman det (U)$$.
Определителем любой треугольной матрицы будет произведение ее диагональных элементов, поэтому
%EQ
-det( roman L) ~ det( roman U) =
+roman det (L) ~ roman det (U) =
( size +4 Pi from i=1 to n l sub ii ) ~ ( size +4 Pi from i=1 to n u sub ii )
%EN
---- Получение обратной матрицы
+-- Получение обратной матрицы
-Обращение матрицы $$roman A$$ : $$roman A \(-> roman A sup -1$$.
+Обращение матрицы $$A$$ : $$A \(-> A sup -1$$.
-По основному свойству обратной матрицы $$roman A roman A sup -1 = roman I ~ $$, где $$roman I$$ — единичная матрица.
+По основному свойству обратной матрицы $$A A sup -1 = I ~ $$, где $$I$$ — единичная матрица.
-Разложив матрицу $$roman A$$, можем записать:
+Разложив матрицу $$A$$, можем записать:
%EQ
-roman {L U A} sup -1 = roman I
+L U A sup -1 = I
%EN
-и решить эту матричное уравнение тем же способом, что и описанный выше способ решения матричных уравнений через LU-разложение.
+и решить это СЛАУ тем же способом, что и описанный выше способ решения СЛАУ через LU-разложение.
--- Реализация метода
+- Реализация метода
---- Алгоритмическая реализация метода
+-- Алгоритмическая реализация метода
----
@@ -140,7 +140,7 @@
----
---- Программная реализация метода
+-- Программная реализация метода
----
@@ -148,13 +148,13 @@
----
--- Эффективность метода
+- Эффективность метода
-Данное разложение является более вычислительно эффективным: как в аспекте алгоритмической сложности, так и в вопросе программной реализации, — чем стандартные методы решения матричных уравнений (метод Крамера), вычисления определителей (разложением по строке или по столбцу или рекурсивное вычисление) и обращения матриц (через МетодГаусса или матрицу алгебраических дополнений).
+Данное разложение является более вычислительно эффективным: как в аспекте алгоритмической сложности, так и в вопросе программной реализации, — чем стандартные методы решения СЛАУ (метод Крамера), вычисления определителей (разложением по строке или по столбцу или рекурсивное вычисление) и обращения матриц (через МетодГаусса или матрицу алгебраических дополнений).
-Необходимо отметить, что LU-разложение может применяться не к любой невырожденной матрице $$roman A$$. Если LU-разложение неприменимо, то необходимо использовать РазложениеLUP.
+Необходимо отметить, что LU-разложение может применяться не к любой невырожденной матрице $$A$$. Если LU-разложение неприменимо, то необходимо использовать РазложениеLUP.
--- Ограниченность метода
+- Ограниченность метода
Не всякая невырожденная квадратная матрица может быть разложена с помощью LU-разложения.
@@ -164,15 +164,15 @@
----
--- Важные частные случаи
+- Важные частные случаи
-Если матрица $$roman A$$ является симметрической (т. е. её элементы симметричны относительно главной диагонали) и положительно определенной, то этот частный случай LU-разложения называют РазложениеХолецкого.
+Если матрица $$A$$ является симметрической (т. е. её элементы симметричны относительно главной диагонали) и положительно определенной, то этот частный случай LU-разложения называют РазложениеХолецкого.
Запись LU-разложения будет в этом случае следующей:
%EQ
-roman A = roman {L L sup T} = roman {U sup T U}
+A = L L sup roman T = U sup roman T U
%EN
-, причем $$roman L = roman {U sup T}.$$.
+, причем $$L = U sup roman T.$$.
# КатегорияЛинейнаяАлгебра | КатегорияПрикладнаяМатематика