@@ -1,77 +1,178 @@
-- LU-разложение
+= LU-разложение
 
-''''''ToDo'''''':
-	* LU-разложение — частный случай МетодГаусса.
-	* Через LU-разложение можно представить не любую матрицу, расширением метода для произвольной матрицы является РазложениеLUP (LU-разложение — частный случай LUP-разложения). LUP-разложение, a propos, тоже является частным случаем МетодГаусса.
-	* Сравнение алгоритмической сложности методов через $$roman O(n)$$-нотацию.
-	* «наглядно представлена» — что я пишу вообще, переделать, это не по-русски, по крайней мере не в этом контектсе.
-
--- Определение
-
-Для корректного определения понятия LU-разложения введем несколько дополнительных опредлений (затем перенести в статью АлгебраическиеМатрицы, или в статью с другим названием, но отражающим суть явления)
-
-	Треугольная матрица (определение из учебника) : Квадратная матрица, все элементы которой строго выше или строго ниже главной диагонали равны нулю. 
+----
 
-	Треугольная матрица (с немаловожным уточнением) : Квадратная матрица, все элементы которой строго выше или строго ниже главной диагонали равны нулю, а среди остальных элементов найдётся хотя бы один ненулевой.
+	* точное указание ограничений на применимость LU-разложения: какой должны быть матрица $$A$$, чтобы невозможно было её разложить (и нужно было бы переходить к РазложениеLUP)?
 
 ----
-	* Кстати, вопрос к дипломированным математикам с дипломом не ниже НМУ с отличием (агагагагагагагага): а что с остальными элементами? Является ли нулевая матрица треугольной? -- АтрашкевичАндрей
 
-	Нижнетреугольная матрица : треугольная матрица, все элементы которой строго ниже главной диагонали, равны нулю.
+- Определение
 
-Нижнетреугольная матрица чаще всего обозначается 
-$$L$$
-(от англ. lower) и может быть наглядно представлена в следующем виде:
+LU-разложением матрицы $$A$$ называется её представление в виде произведения матриц $$LU$$:
 
 %EQ
-L =
-left (
+A = 
+left [
+matrix {
+ccol {a sub 11 above vdots above a sub n1}
+ccol {dots above ddots above dots}
+ccol {a sub 1n above vdots above a sub nn}
+}
+right ] =
+LU =
+left [
+matrix {
+ccol {l sub 11 above vdots above l sub n1}
+ccol {dots above ddots above dots}
+ccol {0 above vdots above l sub nn}
+}
+right ]
+~
+left [
 matrix {
-ccol {a sub 11 above 0 above 0 above vdots above 0}
-ccol {a sub 12 above a sub 22 above 0 above vdots above 0}
-ccol {a sub 13 above a sub 23 a sub 33 above vdots above 0}
+ccol {u sub 11 above vdots above 0}
+ccol {dots above ddots above dots}
+ccol {u sub 1n above vdots above u sub 22}
 }
-right )
+right ]
 %EN
 
-	Верхнетреугольная матрица : треугольная матрица, все элементы которой строго выше главной диагонали, равны нулю.
+Матрица $$L$$ (от англ. «lower» — «нижний») — нижняя треугольная матрица: все элементы, находящиеся строго выше главной диагонали, являются нулями.
 
-Верхнетреугольная матрица чаще всего обозначается 
-$$U$$ 
-(от англ. upper) и может быть наглядно представлена в следующем виде:
+Матрица $$U$$ (от англ. «upper» — «верхний») — верхняя треугольная матрица: все элементы, находящиеся строго ниже главной диагонали, являются нулями.
+
+Например, для некоторой матрицы $$B sub {(3 times 3)}$$:
 
 %EQ
-U =
-left (
+B sub {(3 times 3)} = 
+left [
+matrix {
+ccol {b sub 11 above b sub 21 above b sub 31}
+ccol {b sub 12 above b sub 22 above b sub 32}
+ccol {b sub 13 above b sub 23 above b sub 33}
+}
+right ] =
+LU =
+left [
+matrix {
+ccol {l sub 11 above l sub 21 above l sub 31}
+ccol {0 above l sub 22 above l sub 32}
+ccol {0 above 0 above l sub 33}
+}
+right ]
+~
+left [
 matrix {
-ccol {a sub 11 above a sub 21 above vdots above a sub n1}
-ccol {0 above a sub 22 above vdots above a sub n2}
-ccol {dots above dots above ddots above dots}
-ccol {0 above 0 above vdots above a sub nn}
+ccol {u sub 11 above 0 above 0}
+ccol {u sub 12 above u sub 22 above 0}
+ccol {u sub 13 above u sub 23 above u sub 33}
 }
-right )
+right ]
 %EN
 
--- Поток мыслей (или зачем это вообще нужно?)
+Нужно отметить, что в данном примере матрица $$B sub {(3 times 3)}$$ должна быть невырожденной.
+
+- Использование LU-разложения
+
+LU-разложение позволяет эффективно выполнять следующие действия:
+	1 Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида $$A bold x = bold b$$.
+	1 Вычисление определителя матрицы $$A$$ : $$roman det (A)$$.
+	1 Обращение матрицы $$A$$ : $$A \(-> A sup -1$$.
+
+-- Решение матричных уравнений 
+
+Решение СЛАУ вида $$A bold x = bold b$$.
+
+После LU-разложения матрицы $$A$$ можем записать исходное СЛАУ $$A bold x = bold b$$ в виде:
+
+%EQ
+LU bold x = bold b
+%EN
+
+Заменив $$bold y = U bold x$$ получим систему, которую просто можно решить прямым ходом (прямой подстановкой):
+
+%EQ
+L bold y = bold b
+%EN
+
+Затем, получив решение предыдущего уравнения ($$bold y$$) можем разрешить систему обратным ходом (обратной подстановкой):
+
+%EQ
+U bold x = bold y
+%EN
+
+В итоге получив искомый вектор $$bold x$$.
+
+-- Вычисление определителя 
+
+Вычисление определителя матрицы $$A$$ : $$roman  det (A)$$.
+
+Если $$A = LU$$, то $$roman det (A) = roman det (LU) = roman det (L) ~ roman det (U)$$.
+
+Определителем любой треугольной матрицы будет произведение ее диагональных элементов, поэтому
+
+%EQ
+roman det (L) ~ roman det (U) =
+( size +4 Pi from i=1 to n l sub ii ) ~ ( size +4 Pi from i=1 to n u sub ii )
+%EN
+
+-- Получение обратной матрицы
+
+Обращение матрицы $$A$$ : $$A \(-> A sup -1$$.
+
+По основному свойству обратной матрицы $$A A sup -1 = I ~ $$, где $$I$$ — единичная матрица.
+
+Разложив матрицу $$A$$, можем записать:
+
+%EQ
+L U A sup -1 = I 
+%EN
+
+и решить это СЛАУ тем же способом, что и описанный выше способ решения СЛАУ через LU-разложение.
+
+- Реализация метода
+
+-- Алгоритмическая реализация метода
 
-----
-	* Привести в божеский вид -- АтрашкевичАндрей
 ----
 
-«Король математики» Карл Гаусс мог не только ввести в ступор своего учителя по математике [1], но и придумал (вернее, переоткрыл, этот способ был известен еще в Китае эпохи раннего Тан, кажется) метод решения систем алгебраических уравнений. Этим методом можно решить (или прийти к выводу о неразрешимости) любую систему линейных алгебраических уравнений (в том числе и такую, в которой число переменных равно числу уравнений). Этот метод получил название МетодГаусса. Затем идеи этого фундаментального математического метода легли в основу, например МетодНаименьшихКвадратов и многих других вычислительных методов, оперирующих аппаратом линейной алгебры.
+	* Дописать.
 
-Примерно тогда же появилось понятие ОпределительМатрицы. Его основной целью было определить, имеется ли у СЛАУ решение.
+----
+
+-- Программная реализация метода
 
-Однако, в вузах и ссузах учат почему-то древнему боевому искусству математиков — рукопашной линейной алгебре (взять определитель матрицы 6 на 6 разложением по строке или столбцу с вычислением определителей дополнительных миноров).
+----
 
-При этом вычислительные мощности выросли на порядки. И нужны были красивые и простые (как в смысле алгоритма, так и в смысле реализации) методы решения СЛАУ (и, соответственно, вычисления определителей). Это и дало толчок к тому, чтобы развивать идеи разложений матриц. Потому что метод Гаусса прямым и обратным ходом позволяет совершенно элементарно решать СЛАУ. 
+	* Дописать.
 
 ----
-	* Надо написать про сравнительную сложность алгоритмов: решать СЛАУ через разложение или через рукопашные методы. -- АтрашкевичАндрей
+
+- Эффективность метода
+
+Данное разложение является более вычислительно эффективным: как в аспекте алгоритмической сложности, так и в вопросе программной реализации, — чем стандартные методы решения СЛАУ (метод Крамера), вычисления определителей (разложением по строке или по столбцу или рекурсивное вычисление) и обращения матриц (через МетодГаусса или матрицу алгебраических дополнений).
+
+Необходимо отметить, что LU-разложение может применяться не к любой невырожденной матрице $$A$$. Если LU-разложение неприменимо, то необходимо использовать РазложениеLUP.
+
+- Ограниченность метода
+
+Не всякая невырожденная квадратная матрица может быть разложена с помощью LU-разложения.
+
 ----
 
+	* Дописать.
+
 ----
-[1] Для незнающих, рекомендую ознакомиться с этим чудесным случаем: ни идиотская методика преподавания, строящаяся на палочной дисциплине и наказаниях не изменилась (а лишь ухудшилась), ни образ учителя математики как идиота и самодура не претерпел никаких измений.
 
+- Важные частные случаи
+
+Если матрица $$A$$ является симметрической (т. е. её элементы симметричны относительно главной диагонали) и положительно определенной, то этот частный случай LU-разложения называют РазложениеХолецкого.
+
+Запись LU-разложения будет в этом случае следующей:
+
+%EQ
+A = L L sup roman T = U sup roman T U
+%EN
+, причем $$L = U sup roman T.$$.
 
 # КатегорияЛинейнаяАлгебра | КатегорияПрикладнаяМатематика