Это старая версия (1.32) МетодМножителейЛагранжа.

Содержание

Метод множителей Лагранжа

Метод нахождения экстремального значения функции при условии наличия ограничений, задаваемых равенствами.

Метод множителей Лагранжа (ММЛ) — это метод решения условных задач математического программирования.

Не надо путать ММЛ с методом Лагранжа: первое — задача математического (в т. ч. нелинейного программирования), второе — метод общего решения однородного дифференциального уравнения через вариацию (изменение) постоянной — месье Лагранж был весьма «плодовитым» математиком и дал имена очень многим математическим объектам, методам, принципам и формулам (почти как герр Эйлер). Также есть связанный метод приведения матрицы к каноническому виду.

Тезисы:

  1. Есть функция f(x) .
  2. Есть m ограничений, представимых в виде равенств:  \\(fa i = {1, m} bar ~ : ~ g sub i (x) = 0 .
  3. Наша задача — найти экстремум (максимум / минимум) функции f(x) при условии соблюдении условий из п. 2.

Интуитивная интерпретация на примере.

Некое предприятие производит два товара (x sub 1 и x sub 2): сумки и чемоданы. Для производства одной сумки требуется 3 единиц кожи и 5 единица фурнитуры (заклёпки и проч.), для производства одного чемодана — 8 единиц кожи и 4 единицы фурнитуры. На складе предприятия находится следующий объём запасов: 240 единиц кожи и 200 единиц фурнитуры. Предприятие получет 10 алтын ЕАЭС прибыли с одной сумки и 15 алтын ЕАЭС — с чемодана. Наша задача: составить такой производственный план, который бы принёс предприятию максимальную прибыль.

Формализуем задачу. Функция, которую мы будем максимизировать — функция прибыли: f (x sub 1, x sub 2 ) = 10 x sub 1 + 15 x sub 2 . Ограничения задаются технологическими картами (количество материалов на единицу выпуска) и объёмами располагаемых запасов. Сформулируем ограничения на кожу: 3 x sub 1 + 8 x sub 2 <= 240. Аналогично сформулируем ограничения на фурнитуры: 5 x sub 1 + 4 x sub 2 <= 200. Интуитивно очевидно, что в точке максимума прибыли наши ограничения будут выполнятся как равенства (чем больше произведён, тем больше получим прибыль), поэтому мы можем записать их именно в виде равенств: left {
  lpile {
    3 x sub 1 + 8 x sub 2 = 240 ~ , above
    5 x sub 1 + 4 x sub 2 = 200
  }
right nothing

Если мы обратимся к п. 2 тезисов, то увидим, что запись какждого ограничения должна быть в форме g sub i (x) = 0 ~, поэтому перепишем систему ограничений в виде: left {
  lpile {
    3 x sub 1 + 8 x sub 2 - 240 = 0 ~ , above
    5 x sub 1 + 4 x sub 2 - 200 = 0
  }
}

Геометрически мы можем изобразить данные ограничения на координатной плоскости:

Картинка: http://rextester.com/IXOPP12714

Точки пересечения линий ограничений с осями показывают нам максимальное производство сумок или чемоданов, при котором используется весь доступный располагаемый запас того или иного материала. Естественно, возможные производственные планы находятся ниже и первого (синего — кожа), и второго (зелёное — фурнитура) ограничений, т. е. в области, ограниченной осями координат, синей и зелёной линиями. В остальных частях, нам не хватит или одного ресурса (выше одной, но ниже другой линии), или обоих (выше обеих линий).

Наша задача — найти наибольшее значение функции f (x) = 10 x sub 1 + 15 x sub 2


КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияЛинейноеПрограммирование