Аннуитетный платеж (Аннуитет)

ToDo статьи:

  • пример на ЯзыкR:
    • таблица погашения
    • проценты и основной долг в погашении
    • визуализация принципа сложного процента
  • убрать ненужные знаки умножения
  • переписать определение
  • общее описание

Содержание

Определение

Аннуитет
платеж по кредиту, равномерный в течение всего срока действия кредитного договора, позволяющий полностью покрыть сумму основного долга и начисленных процентов к последнему платежу по кредиту

Вывод формулы

Кредит с параметрами: величина кредита — P рублей, номинальная процентая ставка — j процентных пунктов, используются сложные проценты, срок — m лет, ежемесячная капитализация процентов, равномерные (аннуитетные) платежи A .

Необходимо рассчитать величину аннуитета A .

Рассчитаем сначала величину эффективной ставки процента: i = j over 12 и срок кредита в периодах погашения (в месяцах): n = m cdot 12 .

На начала 0-го периода (факт выдачи кредита) заёмщик должен банку P рублей, а на конец этого же периода заёмщик должен банку P(1 + i) рублей.

В первом периоде заёмщик заплатит банку аннуитет A и останется должен ему P (1 + i) - A рублей (сумма оставшейся задолженности после первого платежа, т. е. на начало первого периода). Именно на эту сумму и будет начислять проценты банк (в соответствии с принципом сложного процента). В результате заёмщик к концу первого периода станет должен банку: left ( P (1 + i) - A right ) cdot (1 + i) = P cdot (1 + i) sup 2 - A cdot (1 + i) .

На начало второго периода заёмщик будет должен P cdot (1 + i) sup 2 - A cdot (1 + i) - A, а к его концу left ( P cdot (1 + i) sup 2 - A cdot (1 + i) - A right ) cdot (1 + i).

В самом конце, в n-ом периоде, после последнего платежа заёмщик полностью погасит как сумму основного долга, так и проценты (если доживёт --АтрашкевичАндрей): P cdot (1 + i) sup n - A cdot (1 + i) sup {(n - 1)} - A cdot (1 + i) sup {(n - 2)} - A cdot (1 + i) sup {(n - 3)} - ~ ldots ~ - A cdot (1 + i) - A= 0

Преобразуем это выражение для того, чтобы выразить из него искомую величину A: P cdot (1 + i) sup n - A cdot left ( (1 + i) sup {(n - 1)} + (1 + i) sup {(n - 2)} + (1 + i) sup {(n - 3)} + ~ ldots ~ + (1 + i) + 1 right ) = 0

или P cdot (1 + i) sup n - A cdot left ( (1 + i) sup {(n - 1)} + (1 + i) sup {(n - 2)} + (1 + i) sup {(n - 3)} + ~ ldots ~ + (1 + i) sup 1 + (1 + i) sup 0 right ) = 0

В больших скобках стоит геометрическая прогрессия, состоящая из n членов, с первым членом b sub 1 = 1 и знаменателем q = (1 + i). Напомним, что сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть вычислена по формуле S sub n = b sub 1 cdot {{1 - q sup n} over {1 - q}}.

Таким образом: P cdot (1 + i) sup n - A cdot left ( 1 cdot {{1 - (1 + i) sup n} over {1 - (1 + i)}} right ) = 0 P cdot (1 + i) sup n - A cdot {{1 - (1 + i) sup n} over {-i}} = 0 P cdot (1 + i) sup n - A cdot {{(1 + i) sup n - 1} over {i}} = 0 P cdot (1 + i) sup n = A cdot {{(1 + i) sup n - 1} over {i}}

В итоге: A = {P ~ i ~ (1 + i) sup n} over {(1 + i) sup n - 1}

Пример кода на R

Пример: квартира в Сыктывкаре, стоимостью 3 млн. рублей. Первоначальный взнос составляет 20%, срок кредита — 20 лет, годовая ставка процента — 15% с ежемесячной капитализацией (начислением процентов каждый месяц по принципу сложных процентов). 

 # 
 aparment.price <- 3E6
 initial.payment.rate <- 0.20
 mortgage.amount <- aparment.price * (1 - initial.payment.rate)

 #
 nominal.rate <- 0.15
 rate <- nominal.rate / 12
 
 # число периодов погашения:
 n.years <- 20  # срок в годах: m
 n <- n.years * 12  # срок в месяцах: n
 # функция, вычисляющая аннуитетный платеж в зависимости от: 
 #  величины кредита: P, 
 #  процентной ставки: i, 
 #  срока кредита: n
 CalculateAnnuity <- function(P, i, n) {
   annuity <- (P * i * (1 + i) ** n)/((1 + i) ** n - 1)
   return (annuity)
 }
 # в переменную monthly.annuity передадим значение аннуитетного платежа,
 # соответствующего параметрам нашего примера, и выведем значение этой переменной
 (monthly.annuity <- CalculateAnnuity(mortgage.amount, rate, n))
 # составим график платежей
 vec.dates <- seq(Sys.Date(), by = 'month', length = (n + 1))
 vec.annuity <- rep(monthly.annuity, (n + 1)) 
 vec.num.of.payment <- c(0:n)
 df.pay.list <- data.frame(vec.dates, vec.annuity, vec.num.of.payment)
 names(df.pay.list) <- c('Date of Payment', 'Annuity Payment', 'Number of Payment')
 df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Start']] <- NA
 df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Finish']] <- NA
 for (i in 0:n){
   if (i == 0) {
     df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Start']][[(i + 1)]] <- mortgage.amount
     df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Finish']][[(i + 1)]] <- mortgage.amount * (1 + rate)
   } else {
     df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Start']][[(i + 1)]] <- (
       df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Finish']][[i]] - df.pay.list[[, 'Annuity Payment']][[(i + 1)]]
     )
     df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Finish']][[(i + 1)]] <- (
       df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Start']][[(i + 1)]] * (1 + rate)
     )
   }
 }
 df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Start']] <- round(df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Start']], 2)
 df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Finish']] <- round(df.pay.list[[, 'Outstanding Amount Finish']], 2)
 df.pay.list

КатегорияФинансоваяМатематика