Содержание
Метод множителей Лагранжа
To Do:
- переписать функцию под векторную запись,
- матрица технологических коэффициентов,
- запись примера в матричной форме.
все картинки разом: http://rextester.com/LOJ42439
Метод нахождения экстремального значения функции при условии наличия ограничений, задаваемых равенствами.
Метод множителей Лагранжа (ММЛ) — это метод решения условных задач математического программирования.
Метод множителей Лагранжа (ММЛ) — частный случай МетодКарушаКунаТаккера, при котором все ограничения системы являются строгими равенствами.
Не надо путать ММЛ с методом Лагранжа: первое — задача математического (в т. ч. нелинейного программирования), второе — метод общего решения однородного дифференциального уравнения через вариацию (изменение) постоянной — месье Лагранж был весьма плодовитым математиком и дал имена очень многим математическим объектам, методам, принципам и формулам (почти как герр Эйлер). Также есть связанный метод приведения матрицы к каноническому виду.
Общая постановка задачи
Мы хотим найти экстремум функции 
Функция 
— очень хорошая: она дифференцируема (имеет производную) в каждой точке (на всей) области своего определения (такие функции в курсе математического анализа обычно называют гладкими). Но помимо функции, экстремум(ы) которой мы хотим найти, в нашей задаче присутствуют ограничения. Ограничения выражают связь переменных функции между собой и могут быть представлены в виде функций:
Заметим, что ограничения — тоже хорошие (гладкие) функции. Заметим, что если ограничения несовместны (их пересечение — пустое множество), то задача оптимизации теряет свой смысл. Но в нашем примере будем полагать, что ограничения хороши не только сами по себе, но и в совокупности.
За отклонения от (невыполнение) ограничений мы будет получать штраф. Штраф, соответствующий 
-ому ограничения обозначим 
и получим вектор штрафов 
Из начальной функции, которую мы оптимизируем, вектора штрафов и ограничений мы можем составить линейно-аддитивную (я это уберу потом, дайте повыёживаться) функцию:
Эта функция называется лагранжианом в честь её автора, месье Жозефа Луи Лагранжа, кавалера ордена Почётного Легиона, любимого математика и постоянного собеседника Наполеона Бонапарта, подарившего нам этот метод. Лагранжиан интересен нам, поскольку точка, в которой его производные по 
и по 
обращаются в ноль может быть экстремальным значением (а может и не быть, это может быть седловая точка — точка перегиба). Таким образом, равенство первых производных лагранжиана по расширенному списку переменных — это лишь необходимое условие экстремума. Запишем данное условие (условие первого порядка), которое будет состоять из 
равенств:
Альтернативный вариант записи лагранжиана — компактнее и проще, мне кажется. -- Г. А.
Нужно отметить тот факт, что с точки зрения решения совершенно неважно, прибавляем ли мы ограничения к целевой функции или вычитаем их из целевой функции. Однако вычитаение нагляднее демонстрирует идею штрафного характера параметров 
Минимальная ёмкость заданного объёма
Нам необходим резервуар заданного объёма 
, имеющий форму прямоугольного параллелипипеда (четыре стенки и дно). Необходимо найти параметры такого резервуара (длину, ширину и глубину), минимизирующие суммарную площадь поверхности резервуара (например с целью уменьшения теплопотерь или снижения затрат на создание такого резервуара).
Пусть 
— длина, ширина и глубина резервуара. Функция площади поверхности 
Ограничение в этой задаче — объём: 
или 
. Лагранжиан этой задачи будет выглядеть следующим образом:
Получим условия первого порядка:
Лучше набрать эту формулу так:
Выразив из 1-3 уравнений параметр получим следующее равенство:
Из части 
видно, что 
Из следующей части равенства 
после несложных арифметических преобразований следует, что 
В итоге получаем, что для достижения минимальной площади необходимо, чтобы основание сосуда было квадратным, а его высота — половиной от стороны основания. Для конкретных численных вычислений можно воспользоваться наши ограничением: 
, то есть 
.
Пример: для объёма 
куб. ед. будет оптимален резервуар с параметрами 
ед.
Формально, нам необходимо получить матрицу вторых частных производных (называемую также матрицей Гессе или гессианом), чтобы доказать, что полученная тами точка — точка минимума. Однако, можно заметить, что лагранжиан — линейная комбинация выпуклых функций (линейная функция и выпукла и вогнута одновременно, здесь нам удобно рассматривать её как выпуклую), т. е. сам является выпуклой функцией. А подозрительная на экстремум точка выпуклой функции — всегда минимум (проверить).
Оптимальный производственный план
Некое предприятие производит два товара (
и 
): сумки и чемоданы. Для производства одной сумки требуется 4 единиц кожи и 5 единиц фурнитуры (заклёпки и проч.), для производства одного чемодана — 8 единиц кожи и 4 единицы фурнитуры. На складе предприятия находится следующий объём запасов: 2800 единиц кожи и 2000 единиц фурнитуры. Предприятие получет 10 алтын ЕАЭС прибыли с одной сумки и 15 алтын ЕАЭС — с чемодана. Наша задача: составить такой производственный план, который бы принёс предприятию максимальную прибыль.
Формализуем задачу. Функция, которую мы будем максимизировать — функция прибыли: 
Ограничения задаются технологическими картами (количество материалов на единицу выпуска) и объёмами располагаемых запасов. Сформулируем ограничения на кожу: 
Аналогично сформулируем ограничения на фурнитуры: 
Интуитивно очевидно, что в точке максимума прибыли наши ограничения будут выполнятся как равенства (чем больше произведён, тем больше получим прибыль), поэтому мы можем записать их именно в виде равенств:
Если мы обратимся к общей постановке задачи, то увидим, что запись какждого ограничения должна иметь форму 
поэтому перепишем систему ограничений в виде:
Геометрически мы можем изобразить данные ограничения на координатной плоскости:
Картинка: http://rextester.com/EASQ20039
Точки пересечения линий ограничений с осями показывают нам максимальное производство сумок или чемоданов, при котором используется весь доступный располагаемый запас того или иного материала. Естественно, возможные производственные планы находятся ниже и первого (синего — кожа), и второго (зелёное — фурнитура) ограничений, т. е. в области, ограниченной осями координат, синей и зелёной линиями. В остальных частях, нам не хватит или одного ресурса (выше одной, но ниже другой линии), или обоих (выше обеих линий).
Наша задача — найти наибольшее значение функции 
Мы не можем изображать график функции двух переменных в двумерной системе координат (не хватает измерений), но мы можем делать «срезы» этой функции. Геометрически функция прибыли 
— плоскость, её «срезами» будут прямые (такие срезы называют «линии уровня»). Для получения этих срезов будем подставлять те или иные значения в функцию и рисовать прямые. Множество таких прямых напоминает листы в книге.
Картинка: http://rextester.com/GUAOM34969
Лагранжиан этой задачи
Условия первого порядка:
Из 3-го и 4-го равенств системы получаем решение 
КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияМетодыОптимизации