Метод множителей Лагранжа

• переписать функцию под векторную запись,
• матрица технологических коэффициентов,
• запись примера в матричной форме.

Метод нахождения экстремального значения функции при условии наличия ограничений, задаваемых равенствами.

Метод множителей Лагранжа (ММЛ) — это метод решения условных задач математического программирования.

Не надо путать ММЛ с методом Лагранжа: первое — задача математического (в т. ч. нелинейного программирования), второе — метод общего решения однородного дифференциального уравнения через вариацию (изменение) постоянной — месье Лагранж был весьма «плодовитым» математиком и дал имена очень многим математическим объектам, методам, принципам и формулам (почти как герр Эйлер). Также есть связанный метод приведения матрицы к каноническому виду.

Тезисы:

1. Есть функция
2. Есть ограничений, представимых в виде равенств:
3. Наша задача — найти экстремум (максимум / минимум) функции при условии соблюдении условий из п. 2.

Интуитивная интерпретация на примере.

Некое предприятие производит два товара ( и ): сумки и чемоданы. Для производства одной сумки требуется 4 единиц кожи и 2 единица фурнитуры (заклёпки и проч.), для производства одного чемодана — 8 единиц кожи и 5 единицы фурнитуры. На складе предприятия находится следующий объём запасов: 2800 единиц кожи и 1600 единиц фурнитуры. Предприятие получет 10 алтын ЕАЭС прибыли с одной сумки и 15 алтын ЕАЭС — с чемодана. Наша задача: составить такой производственный план, который бы принёс предприятию максимальную прибыль.

Формализуем задачу. Функция, которую мы будем максимизировать — функция прибыли: Ограничения задаются технологическими картами (количество материалов на единицу выпуска) и объёмами располагаемых запасов. Сформулируем ограничения на кожу: Аналогично сформулируем ограничения на фурнитуры: Интуитивно очевидно, что в точке максимума прибыли наши ограничения будут выполнятся как равенства (чем больше произведён, тем больше получим прибыль), поэтому мы можем записать их именно в виде равенств:

Если мы обратимся к п. 2 тезисов, то увидим, что запись какждого ограничения должна быть в форме поэтому перепишем систему ограничений в виде:

Геометрически мы можем изобразить данные ограничения на координатной плоскости:

Картинка:

Точки пересечения линий ограничений с осями показывают нам максимальное производство сумок или чемоданов, при котором используется весь доступный располагаемый запас того или иного материала. Естественно, возможные производственные планы находятся ниже и первого (синего — кожа), и второго (зелёное — фурнитура) ограничений, т. е. в области, ограниченной осями координат, синей и зелёной линиями. В остальных частях, нам не хватит или одного ресурса (выше одной, но ниже другой линии), или обоих (выше обеих линий).

Наша задача — найти наибольшее значение функции Мы не можем изображать график функции двух переменных в двумерной системе координат (не хватает измерений), но мы можем делать «срезы» этой функции. Геометрически функция прибыли — плоскость, её «срезами» будут прямые (такие срезы называют «линии уровня»). Для получения этих срезов будем подставлять те или иные значения в функцию и рисовать прямые. Множество таких прямых напоминает листы в книге.