Метод множителей Лагранжа

• переписать функцию под векторную запись,
• матрица технологических коэффициентов,
• запись примера в матричной форме.

все картинки разом: http://rextester.com/LOJ42439

Метод нахождения экстремального значения функции при условии наличия ограничений, задаваемых равенствами.

Метод множителей Лагранжа (ММЛ) — это метод решения условных задач математического программирования.

Не надо путать ММЛ с методом Лагранжа: первое — задача математического (в т. ч. нелинейного программирования), второе — метод общего решения однородного дифференциального уравнения через вариацию (изменение) постоянной — месье Лагранж был весьма плодовитым математиком и дал имена очень многим математическим объектам, методам, принципам и формулам (почти как герр Эйлер). Также есть связанный метод приведения матрицы к каноническому виду.

Общая постановка задачи

Мы хотим найти экстремум функции Функция — очень хорошая: она дифференцируема (имеет производную) в каждой точке (на всей) области своего определения (такие функции в курсе математического анализа обычно называют «гладкими»). Но помимо функции, экстремум(ы) которой мы хотим найти, в нашей задаче присутствуют ограничения. Ограничения выражают связь переменных функции между собой и могут быть представлены в виде функций:

Заметим, что ограничения — тоже хорошие (гладкие) функции. Заметим, что если ограничения несовместны (их пересечение — пустое множество), то задача оптимизации теряет свой смысл. Но в нашем примере будем полагать, что ограничения хороши не только сами по себе, но и в совокупности.

За отклонения от (невыполнение) ограничений мы будет получать штраф. Штраф, соответствующий -ому ограничения обозначим и получим вектор штрафов

Из начальной функции, которую мы оптимизируем, вектора штрафов и ограничений мы можем составить линейно-аддитивную (я это уберу потом, дайте повыёживаться) функцию:

Эту функцию называется лагранжианом в честь её автора, месье Жозефа Луи Лагранжа, кавалера ордена Почётного Легиона, любимого математика и постоянного собеседника Наполеона Бонапарта, подарившего нам этот метод. Лагранжиан интересен нам, поскольку точка, в которой его производные по и по обращаются в ноль может быть экстремальным значением (а может и не быть, это может быть седловая точка — точка перегиба). Таким образом, равенство первых производных лагранжиана по расширенному списку переменных — это лишь необходимое условие экстремума. Запишем данное условие (условие первого порядка), которое будет состоять из равенств:

Интуитивная интерпретация на примере

Некое предприятие производит два товара ( и ): сумки и чемоданы. Для производства одной сумки требуется 4 единиц кожи и 5 единиц фурнитуры (заклёпки и проч.), для производства одного чемодана — 8 единиц кожи и 4 единицы фурнитуры. На складе предприятия находится следующий объём запасов: 2800 единиц кожи и 2000 единиц фурнитуры. Предприятие получет 10 алтын ЕАЭС прибыли с одной сумки и 15 алтын ЕАЭС — с чемодана. Наша задача: составить такой производственный план, который бы принёс предприятию максимальную прибыль.

Формализуем задачу. Функция, которую мы будем максимизировать — функция прибыли: Ограничения задаются технологическими картами (количество материалов на единицу выпуска) и объёмами располагаемых запасов. Сформулируем ограничения на кожу: Аналогично сформулируем ограничения на фурнитуры: Интуитивно очевидно, что в точке максимума прибыли наши ограничения будут выполнятся как равенства (чем больше произведён, тем больше получим прибыль), поэтому мы можем записать их именно в виде равенств:

Если мы обратимся к п. 2 тезисов, то увидим, что запись какждого ограничения должна быть в форме поэтому перепишем систему ограничений в виде:

Геометрически мы можем изобразить данные ограничения на координатной плоскости:

Картинка: http://rextester.com/EASQ20039

Точки пересечения линий ограничений с осями показывают нам максимальное производство сумок или чемоданов, при котором используется весь доступный располагаемый запас того или иного материала. Естественно, возможные производственные планы находятся ниже и первого (синего — кожа), и второго (зелёное — фурнитура) ограничений, т. е. в области, ограниченной осями координат, синей и зелёной линиями. В остальных частях, нам не хватит или одного ресурса (выше одной, но ниже другой линии), или обоих (выше обеих линий).

Наша задача — найти наибольшее значение функции Мы не можем изображать график функции двух переменных в двумерной системе координат (не хватает измерений), но мы можем делать «срезы» этой функции. Геометрически функция прибыли — плоскость, её «срезами» будут прямые (такие срезы называют «линии уровня»). Для получения этих срезов будем подставлять те или иные значения в функцию и рисовать прямые. Множество таких прямых напоминает листы в книге.

Картинка: http://rextester.com/GUAOM34969