Это старая версия (1.247) МетодНаименьшихКвадратов.

Содержание

Метод наименьших квадратов

Общие комментарии к статье:
  1. Статья пишется максимально подробно с той целью, чтобы человек, ни разу до этого не сталкивающийся с МНК мог понять и его сущность, и то, как получаются оценки коэффициентов линейного многочлена, аппроксимирующего данные. Входные требования: дифференцирование функции многих переменных, основы линейной алгебры.
  2. Эту статью нужно читать с листочком и карандашом, повторяя действия (дифференцируя, проводя подстановки, рисуя). Это не Талмуд, тут заучивание не катит.
  3. В статье нет фраз: «очевидно, что» и прочих благоглупостей. Любой пропуск в рассуждениях смерти подобен. А учебники, в которых много таких фраз должны отправляться в помойное ведро. Там им и место.
Типографские вопросы:
  1. диактрический знак size +3 nothing hat должен быть только над буквой, или над буквой с индексом? То есть так b sub 0 = beta hat sub 0, или так b sub 0 = {beta sub 0} accent size +3 \\\"^\\\"? И если второе, то как это сделать не таким уродливым?
  2. отбивается ли запятая пробелом при pile наборе (условие первого порядка в этой статье)?
  3. надо ли увеличивать размер внешних скобок, если есть внутренние?
  • Я честна-честна переделаю статью так, чтобы формулы были красивыми и правильными. Пока набираю по наитию. Иначе, с моим-то уровнем типографской грамотности, работа просто встанет. --АтрашкевичАндрей

Оцениваем y sub i = beta sub 0 + beta sub 1 x sub i + epsilon sub i с помощью y hat sub i = b sub 0 + b sub 1 x sub i , здесь size +3 nothing hat — знак оценки, поэтому b sub 0 = beta hat sub 0 и b sub 1 = beta hat sub 1 .

Функция суммы квадратов невязок (SSE: Sum of Square Errors): 

 size +2
SSE = size +2 sum from i=1 to n e sub i sup 2 = size +2 sum from i=1 to n (y sub i - y hat sub i ) sup 2 = size +2 sum from i=1 to n (y sub i - (b sub 0 + b sub 1 x sub i )) sup 2 = size +2 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) sup 2 
 size +3
SSE = size +3 sum from i=1 to n e sub i sup 2 = size +3 sum from i=1 to n (y sub i - y hat sub i ) sup 2 = size +3 sum from i=1 to n (y sub i - (b sub 0 + b sub 1 x sub i )) sup 2 = size +3 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) sup 2 
 size +4
SSE = size +4 sum from i=1 to n e sub i sup 2 = size +4 sum from i=1 to n (y sub i - y hat sub i ) sup 2 = size +4 sum from i=1 to n (y sub i - (b sub 0 + b sub 1 x sub i )) sup 2 = size +4 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) sup 2

Задача безусловной оптимизации — минимизация суммы квадратов невязок: size +3 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) sup 2 -> min from {b sub 0 , ~ b sub 1}

Условие первого порядка: \[1\] ~~ left { lpile { \[1.1\]: ~ {partial SSE} over {partial b sub 0} = 0 ~ , above \[1.2\]: ~ {partial SSE} over {partial b sub 1} = 0 } right nothing

Рассмотрим \[1.1\]: ~ {partial SSE} over {partial b sub 0} = 0 {partial SSE} over {partial b sub 0} = {partial size +3 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) sup 2} over {partial b sub 0} = {-2} size +3 sum from i=1 to n ( y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) = 0

Откуда: lpile { size +3 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) = 0 ~, above size +3 sum from i=1 to n y sub i - size +3 sum from i=1 to n b sub 0 - size +3 sum from i=1 to n b sub 1 x sub i = 0 ~, above size +3 sum from i=1 to n y sub i - n b sub 0 - b sub 1 size +3 sum from i=1 to n x sub i = 0 ~, above n b sub 0 + b sub 1 size +3 sum from i=1 to n x sub i = size +3 sum from i=1 to n y sub i ~ \[2.1\] }

В ТВМС принято обозначать средние значения через символ size +3 nothing bar, не стоит путать это с вектором.

Последнее из уравнений можно записать так: lpile { b sub 0 + b sub 1 {size +3 sum from i=1 to n x sub i} over n = {size +3 sum from i=1 to n y sub i} over n ~, above b sub 0 + b sub 1 x bar = y bar }

Рассмотрим \[1.2\]: ~ {partial SSE} over {partial b sub 1} = 0 {partial SSE} over {partial b sub 1} = {partial size +3 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) sup 2} over {partial b sub 1} = {-2} size +3 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) x sub i = 0

Откуда: lpile { size +3 sum from i=1 to n (y sub i - b sub 0 - b sub 1 x sub i ) x sub i = 0 ~, above size +3 sum from i=1 to n (y sub i x sub i - b sub 0 x sub i - b sub 1 x sub i sup 2 ) = 0 ~, above size +3 sum from i=1 to n y sub i x sub i - b sub 0 size +3 sum from i=1 to n x sub i - b sub 1 size +3 sum from i=1 to n x sub i sup 2 = 0 ~, above b sub 0 size +3 sum from i=1 to n x sub i + b sub 1 size +3 sum from i=1 to n x sub i sup 2 = size +3 sum from i=1 to n y sub i x sub i ~ \[2.2\] }

В результате преобразований система \[1\] может быть записана в виде системы \[2\]: \[2\] ~~ left { lpile { \[2.1\]: n b sub 0 + b sub 1 size +3 sum from i=1 to n x sub i = size +3 sum from i=1 to n y sub i ~, above \[2.2\]: b sub 0 size +3 sum from i=1 to n x sub i + b sub 1 size +3 sum from i=1 to n x sub i sup 2 = size +3 sum from i=1 to n y sub i x sub i } right nothing

КатегорияПрикладнаяМатематика