Это старая версия (1.659) МетодНаименьшихКвадратов.

Содержание

Метод наименьших квадратов

Простейший случай

  • Гильза.

Допустим, в рамках некого эксперимента было проведено n измерений. Каждое измерение представляет собой пару (x sub i , y sub i ), где x sub i — вход, y sub i — выход (такую пару будет называть «точкой»).

Результаты эксперимента могут быть записаны в таблице. В первом столбце будут находиться все значения входов: bold x = (x sub 1 , x sub 2 , ldots , x sub i , ldots , x sub n ), а во втором все значения выходов: bold y = (y sub 1 , y sub 2 , ldots , y sub i , ldots , y sub n ).

Мы хотим описать экспериментальные данные линейной функцией («подогнать» их к линии). Почти никогда не встречается ситуация, при которой все точки будут лежать на одной прямой. Поэтому наша цель — найти такую прямую (линейную функцию), которая бы наилучшим образом (в некотором смысле) описывала полученные результаты. Значения этой функции будем называть оцененными и обозначим y hat sub i . Сама функция будет иметь вид: y hat sub i = b sub 0 + b sub 1 x sub i .

Каждому измерению входа x sub i будет соответствовать реальное значение y sub i и оцененное значение y hat sub i . Разницу между реальным и оцененным значением будем называть отклонением и обозначим e sub i = y sub i - y hat sub i .

Таким образом, нам нужна такая линейная функция, общее отклонение реальных экспериментальных значений от которой было бы наименьшим.

  • Первый слой.

Существует большое количество способов измерить общее отклонение реальных экспериментальных значений от оцененных. Приведём самые очевидные из них:

  1. сумма значений отклонений: sum from i=1 to n e sub i ,
  2. сумма асболютных значений отклонений: sum from i=1 to n |e sub i | ,
  3. сумма квадратов отклонений: sum from i=1 to n e sub i sup 2 .

КатегорияПрикладнаяМатематика