Метод наименьших квадратов

В данной статье все вектора по умолчанию являются векторами-столбцами. Внимательно следите за размерностями матриц и векторов по ходу объяснения.

Простейший случай

Общая постановка задачи

Допустим, в рамках некого эксперимента было проведено измерений. Каждое измерение представляет собой пару где — вход, — выход (такую пару будем называть «точкой»).

Результаты эксперимента могут быть записаны в таблице, в первом столбце которой будут находиться все значения входов, а во втором — все значения выходов:

Мы хотим описать экспериментальные данные линейной функцией («подогнать» их к прямой). Почти никогда не встречается ситуаций, при которых все точки будут лежать на одной прямой. Поэтому наша цель — найти такую линейную функцию (прямую), которая в некотором смысле наилучшим образом описывала бы полученные результаты. Значения этой функции будем называть оценками и обозначим Сама функция будет иметь вид:

• Картинка с хорошей линией и с плохой.

Каждому измерению входа будет соответствовать реальное значение и оценка Разницу между реальным значением и оценкой будем называть отклонением и обозначим

• Картинка с иллюстрацией отклонения для одной точки.

Таким образом, нам нужна такая линейная функция, для которой общее отклонение реальных экспериментальных значений от оценок было бы наименьшим. При этом общее отклонение не обязательно должно быть измерено как сумма отклонений для всех измерений.

Выбор способа «подгонки»

Существует большое количество способов измерить общее отклонение реальных экспериментальных значений от их оценок. Приведём самые очевидные из них:

1. сумма значений отклонений
2. сумма абсолютных значений отклонений
3. сумма квадратов отклонений

Каждый из этих способов имеет как свои плюсы, так и свои минусы. В каком-то смысле, все они «плохие», поэтому наша задача выбрать наименее «плохой» из них: тот, чьи плюсы перевесят минусы. Для выбора рассмотрим их по отдельности.

Несомненным достоинством первого способа является его чрезвычайная простота. Однако такой способ небезопасен с точки зрения статистических выбросов. Если в наших данных есть два выброса, лежащие по разные стороны от прямой на примерно одном и том же расстоянии, то они погасят друг друга. Если таких выбросов будет много (при малых выборках бывает достаточно и двух), то это может дать нам прямую с неверным угловым коэффициентом .

• Картинка с иллюстрацией взаимного погашения.

Казалось бы, недостатки первого способа полностью снимаются вторым. Взятие абсолютного значения (модуля) должно обезопасить нас от проблем с взаимопогашающимися разносторонними выбросами. Однако и у этого способа есть существенные недостатки.

Забегая несколько вперед, скажем, что для получения коэффициентов наилучшей линейной функции мы воспользуемся математическим аппаратом дифференциального исчисления. Модуль же не является всюду дифференцируемой функций. И если это кажется не такой большой проблемой в нашем примере, то когда мы расширим МНК на случай многих независимых переменных, это может сделать вычислительную задачу чрезвычайно трудноразрешимой (а в момент, когда этот метод был открыт и просто практически неразрешимой). Кроме того, неприемлимость данного способа (бо́льшую приемлимость другого) доказал в своё время великий русский математик Андрей Андреевич Марков, чьи работы позволили использовать МНК в статистическом оценивании.

• Ссылка на Маркова через boref.

Третий способ, давший имя методу наименьших квадратов, позволяет избежать проблем, связанных с робастностью. Более сильные отклонения вносят бо́льшие вклады, а слабые отклонения нивелируются — взаимного погашения при этом возникнуть не может, т. к. квадрат числа неотрицателен. Вместе с этим, уходит и проблема, связанная с дифференцированием: квадратическая функция является всюду дифференцируемой. Этим, а также и другими причинами (в том числе и причинами, выявленными А. А. Марковым в связи с использованием МНК в статистическом оценивании), был обусловлен выбор способа.

Таким образом мы можем формализовать описанную нами задачу: необходимо наити такие значения коэффициентов и , при которых функция примет наименьшее значение.

Математическая формализация

Множественный случай

Общая постановка задачи

Допустим теперь мы расширили наш эксперимент. По-прежнему было проведено измерений, но замерялся не один вход, а различных входов (выход по-прежнему один).

Результаты эксперимента могут быть записаны в таблице:

По строкам расположены результаты измерений, по столбцам — значения входов.

Например, — значение 4-го входа в 3-ем измерении.

С помощью матриц мы можем записать таблицу с экспериментальными данными компактнее. Входы будут находиться в матрице , а выходы — в векторе-столбце .

Мы по-прежнему хотим «подогнать» наши экспериментальные данные к линейной функции, но, в отличие от предыдущего случая это будет не прямая, а -мерная плоскость (для это будет обычная плоскость, для — гиперплоскость). Вектор значений линейной функции назовём вектором оценкок и обозначим . Сама вектор будет иметь вид:

Или в более подробной форме:

, где

— вектор-столбец коэффициентов линейной функции.

Если мы предполагаем, что в нашей линейной функции имеется свободный член, то значения крайнего правого столбца матрицы будут состоять только из единиц. Соответственно, и будет значением свободного члена:

Разницу между реальным значением и оценкой будем по-прежнему называть отклонением и обозначим Распишем это уравнение подробнее:

Сумма квадратов отклонений может быть получена как Нам необходимо, найти такой вектор , чтобы сумма квадратов отклонений была минимальна:

Математическая формализация