Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Допустим, в рамках некоторой задачи нам необходимо решить систему из линейных уравнений с неизвестными:

Такую систему будем называть системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Более компактно в матричной форме можно записать СЛАУ как . Матрицу назовём матрицей коэффициентов или матрицей системы, вектор — вектором неизвестных или вектором переменных, вектор — вектором свободных членов. Если , то говорят, что такая СЛАУ однородна.

Метод Крамера

Методом Крамера можно решить СЛАУ, матрица коэффициентов которой является квадратной и невырожденной (что гарантирует нам наличие решения и его единственность).

Допустим, необходимо решить следующую СЛАУ:

В матричной форме можем представить эту СЛАУ следующим образом:

Определитель матрицы коэффициентов системы больше нуля, что гарантирует нам наличие единственного решения:

Метод Гаусса

Универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Метод позволяет прийти к выводу о том, что данная СЛАУ:

• неразрешима;
• имеет одно решение и вычислить его;
• имеет множество (семейство) решений и вывести формулу, позволяющую получить любое из семейств решений СЛАУ.

Метод Зейделя — Гаусса