Преобразование Фурье

Только не кидайте меня в терновый куст!

Сказки дядюшки Римуса.

Тезисы:

• Сигнал представляется как функция по времени: зависимость амплитуды от времени (по оси абсцисс — время, по оси ординат — амплитуда). Это представление сигнала — представление в домене времени.
• Это представление неудобно (почему? потому что бесполезно, например ЭКГ, сейсмические данные — проблемы с сердцем или сейсмическую активность, соответствующую землетрясению, фиксируют по частотам). Удобнее анализировать сигнал в частотном представлении (представление в домене частот).
• В домене частот сигнал представляется так: по оси абсцисс — частота (вместо времени), по оси ординат — амплитуда.
• Преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена времени в домен частот. Обратное преобразование Фурье позволяет переводить сигнал из домена частот в домен времени.
• Зачем эти преобразования? Легче перевести сигнал из домена времени в домен частот, выявить закономерности, а потом перевести полученные результаты обратно в домен времени.
• Фурье решал своё именное дифференциальное уравнение теплопроводности (для краевой задачи — задачи нагревания стержня). Уравнение было аналитически неразрешимо, поэтому он и придумал преобразование имени себя.
• Функция в домене времени — функция действительного (вещественного) аргумента — называется функцией-прообразом. Функция в домене частот — функция комплексного аргумента — называется Фурье-образом или просто образом. Это похоже на логику дифференцирования и интегрирования.
• Комплексный аргумент имеет две части: действительную и мнимую — что позволяет одним комплексным числом описывать процесс, характеристиками которого являются амплитуда и частота (дайте, пожалуйста, комплексный обед с мнимым мясом).

Предположим, у нас есть сигнал, описываемый в домене времени функцией переведём его в доме частот, использя преобразование Фурье:

где — частота.

Для нашего примера

Получим Фурье-образ сигнала:

Для перехода использовалась ФормулаЭйлера?: