Это старая версия (1.100) РазложениеLU.

Содержание

LU-разложение


  • писать LU-разложение или LU-разложение?

Гильза

LU-разложением матрицы A называется её представление в виде произведения матриц LU: A = 
LU =
left (
matrix {
ccol {l sub 11 above vdots above l sub n1}
ccol {dots above ddots above dots}
ccol {0 above vdots above l sub nn}
}
right )
~
left (
matrix {
ccol {u sub 11 above vdots above 0}
ccol {dots above ddots above dots}
ccol {u sub 1n above vdots above u sub 22}
}
right )

Например, для некоторой матрицы B sub {(3 times 3)}: B sub {(3 times 3)} = 
LU =
left (
matrix {
ccol {l sub 11 above l sub 21 above l sub 31}
ccol {0 above l sub 22 above l sub 32}
ccol {0 above 0 above l sub 33}
}
right )
~
left (
matrix {
ccol {u sub 11 above 0 above 0}
ccol {u sub 12 above u sub 22 above 0}
ccol {u sub 13 above u sub 23 above u sub 33}
}
right )

Нужно отметить, что в данном примере матрица B sub {(3 times 3)} должна быть невырожденной.

Матрица L называется нижней треугольной матрицей (все элементы строго выше главной диагонали являются нулями), а матрица U — верхней треугольной матрицей (все элементы строго ниже главной диагонали являются нулями).

LU-разложение позволяет эффективно выполнять следующие действия:

  1. Решение матричных уравнений вида A bold x = bold b.
  2. Вычисление определителя матрицы A : det(A).
  3. Обращение матрицы A : A \\(-> A sup -1.

Первый слой

Решение матричных уравнений вида A bold x = bold b.

После LU-разложения матрицы A можем записать исходное матричное уравнение A bold x = bold b в виде: LU bold x = bold b

Заменив bold y = U bold x получим систему, которую просто можно решить прямым ходом (прямой подстановкой): L bold y = bold b

Затем, получив решение предыдущего уравнения (y) можем разрешить систему обратным ходом (обратной подстановкой): U bold x = y

В итоге получив искомый вектор bold x.

Второй слой

Вычисление определителя матрицы A : det(A).

Третий слой

Обращение матрицы A : A \\(-> A sup -1.


КатегорияЛинейнаяАлгебра | КатегорияПрикладнаяМатематика