LUP-разложение

Расширение метода РазложениеLU на случай матриц, неразложимых LU-разложением. Любую невырожденную квадратную матрицу можно разложить через LUP-разложение.

Содержание

Определение

LUP-разложением матрицы A называется её представление в виде следующего произведения матриц PA = LU.

Матрица L (от англ. «lower» — «нижний») — нижняя треугольная матрица: все элементы, находящиеся строго выше главной диагонали, являются нулями.

Матрица U (от англ. «upper» — «верхний») — верхняя треугольная матрица: все элементы, находящиеся строго ниже главной диагонали, являются нулями.

Матрица P (от англ. «permutation» — «перестановка») — это матрица, полученная из единичной матрицы I путём перестановки строк или стобцов.

Например, для некоторой матрицы B sub {(3 times 3)}: PB = left ( matrix { ccol {0 above 1 above 0} ccol {1 above 0 above 0} ccol {0 above 0 above 1} } right ) ~ left ( matrix { ccol {b sub 11 above b sub 21 above b sub 31} ccol {b sub 12 above b sub 22 above b sub 32} ccol {b sub 13 above b sub 23 above b sub 33} } right ) = LU = left ( matrix { ccol {l sub 11 above l sub 21 above l sub 31} ccol {0 above l sub 22 above l sub 32} ccol {0 above 0 above l sub 33} } right ) ~ left ( matrix { ccol {u sub 11 above 0 above 0} ccol {u sub 12 above u sub 22 above 0} ccol {u sub 13 above u sub 23 above u sub 33} } right )

Матрицы P была получена из единичной матрицы I путём перестановки 1-ой и 2-ой строк. Необходимо отметить, что таких перестановок может быть более одной, но они должны проводиться только или по строкам, или только по столбцам. Кроме того, как и в случае с РазложениеLU матрица B должна быть невырожденной.

КатегорияЛинейнаяАлгебра | КатегорияПрикладнаяМатематика