@@ -1,26 +1,60 @@
-- Математическое ожидание случайной величины
+= Математическое ожидание случайной величины
 
-Предположим, мы одновременно подбрасываем две шестигранных игральных кости, геометрические центры которых совпадают с их центрами масс.
+Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятности.
 
-В этом случайном эксперименте возможно $$6 sup 2 = 36$$ возможных исходов.
+Рассмотрим простой пример: пусть СлучайнаяВеличина $$X$$ принимает значения $$X = \(lC -3, 0, 1, 2, 4 \(rC$$ с вероятностями $$p = \(lC 0","2, 0","1, 0","15, 0","25, 0","3 \(rC .$$ Можно проинтерпетировать это следующим образом: в эксперименте из ста опытов значение $$-3$$ реализуется двадцать раз, значение $$0$$ — десять раз и так далее. Мы хотим понять, какое среднее значение случайной величины будет в ста опытах. Такое среднее значение мы и назовём математическим ожиданием.
 
-Случайной величиной $$X$$ будем считать сумму числа точек, выпавших на верхних гранях игральных костей. Запишем возможные значения случайной величины $$X$$ и $$n$$ благоприятствующие им числа возможных исходов:
+Вычисляя математическое ожидание, мы берём в качестве весов вероятности, соответствующие значениям случайной величины. При этом сумма всех весов будет равна $$1 , $$ так как по сути это вероятность достоверного события (то есть события, что случайная величина примет хотя бы какое-то значение из возможных): 
 
 %EQ
- matrix {
-  ccol {X sub i above n sub i}
-  ccol {2 above 1}
-  ccol {3 above 2}
-  ccol {4 above 3}
-  ccol {5 above 4}
-  ccol {6 above 5}
-  ccol {7 above 6}
-  ccol {8 above 5}
-  ccol {9 above 4}
-  ccol {10 above 3}
-  ccol {11 above 2}
-  ccol {12 above 1}
- }
+roman M [X] =
+{x sub 1 p sub 1 + x sub 2 p sub 2 + ldots + x sub n p sub n} over 
+{p sub 1 + p sub 2 + ldots + p sub n} = 
+{x sub 1 p sub 1 + x sub 2 p sub 2 + ldots + x sub n p sub n} over 1 =
+sum from i=1 to n x sub i p sub i .
 %EN
 
+Для нашего первого примера:
+
+%EQ
+roman M [X] = -3 cdot 0","2 + 0 cdot 0","1 + 1 cdot 0","15 + 2 cdot 0","25 + 4 cdot 0","3 = 1","25 .
+%EN
+
+То есть в ста экспериментах мы ожидаем наберать 125 очков. С увеличением $$n$$ — числа опытов — по закону больших чисел сумма будет стремиться к $$1,25 cdot n$$ очков.
+
+Приведём ещё один пример. Математическое ожидание числа точек на игральной кости можно вычислить как:
+
+%EQ
+roman M [X] = 
+size -2 {1 over 6} cdot 1 + size -2 {1 over 6} cdot 2 + ldots + size -2 {1 over 6} cdot 6 =
+size -2 {1 over 6} (1 + 2 + ldots + 6) = size -2 {21 over 6} = 3,5 .
+%EN
+
+То есть в ста опытах мы ожидаем сумму тридцать пять очков. Естественно, результаты реального эксперимента могут отличаться, но с увеличением числа опытов, среднее значение выпавших на верхней грани игральной кости очков будет приблизительно три с половиной.
+
+Формулы выше верны для конечных дискретных случайных величин, имеющих конечное число значений. Нетрудно экстраполировать эту формулу: если наша дискретная случайная величина $$X$$ имеет бесконечное число значений (т. е. число её значений не более чем счётно), то математическое ожидание будет:
+
+%EQ
+roman M [X] = sum from i=1 to inf x sub i p sub i
+%EN
+
+Математическое ожидание существует, когда указанный ряд сходится абсолютно. В противном случае, у случайной величины нет математического ожидания.
+
+Для непрерывных случайных величин мы можем воспользоваться интегралом:
+
+%EQ
+roman M [X] = int from {- inf} to {+ inf} x p(x) roman d x
+%EN
+
+Если интеграл сходится, то математическое ожидание существует, в противном случае, математического ожидания у случайной величины нет (например, нет математического ожидания у случайной величины, распределённой по закону Коши — слишком тяжёлые хвосты у распределения).
+
+- Свойство математического ожидания
+
+Математическое ожидание обладает следующими полезными свойствами:
+
+	1 Математическое ожидание случайной величины — это константа (число): $$roman M [X] = c .$$
+	1 Математическое ожидание константы — это сама эта константа: $$roman M [c] = c .$$
+	1 Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — линейная комбинация математических ожиданий: $$roman M [a X + b Y + c] = a roman M [X] + b roman M [Y] + c .$$ Важный  частный случай этого свойста — возможность вынесения константы за знак математического ожидания: $$roman M [cX] = c roman M [X] .$$
+
+
 # КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияТеорияВероятностей