Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятности.

Рассмотрим простой пример: пусть СлучайнаяВеличина X принимает значения X = \\(lC -3, 0, 1, 2, 4 \\(rC с вероятностями p = \\(lC 0\\\",\\\"2, 0\\\",\\\"1, 0\\\",\\\"15, 0\\\",\\\"25, 0\\\",\\\"3 \\(rC . Можно проинтерпетировать это следующим образом: в эксперименте из ста опытов значение -3 реализуется двадцать раз, значение 0 — десять раз и так далее. Мы хотим понять, какое среднее значение случайной величины будет в ста опытах. Такое среднее значение мы и назовём математическим ожиданием.

Вычисляя математическое ожидание, мы берём в качестве весов вероятности, соответствующие значениям случайной величины. При этом сумма всех весов будет равна 1 , так как по сути это вероятность достоверного события (то есть события, что случайная величина примет хотя бы какое-то значение из возможных): roman M \[X\] =
{x sub 1 p sub 1 + x sub 2 p sub 2 + ldots + x sub n p sub n} over 
{p sub 1 + p sub 2 + ldots + p sub n} = 
{x sub 1 p sub 1 + x sub 2 p sub 2 + ldots + x sub n p sub n} over 1 =
sum from i=1 to n x sub i p sub i .

Для нашего первого примера: roman M \[X\] = -3 cdot 0\\\",\\\"2 + 0 cdot 0\\\",\\\"1 + 1 cdot 0\\\",\\\"15 + 2 cdot 0\\\",\\\"25 + 4 cdot 0\\\",\\\"3 = 1\\\",\\\"25 .

То есть в ста экспериментах мы ожидаем наберать 125 очков. С увеличением n — числа опытов — по закону больших чисел сумма будет стремиться к 1,25 cdot n очков.

Приведём ещё один пример. Математическое ожидание числа точек на игральной кости можно вычислить как: roman M \[X\] = 
size -2 {1 over 6} cdot 1 + size -2 {1 over 6} cdot 2 + ldots + size -2 {1 over 6} cdot 6 =
size -2 {1 over 6} (1 + 2 + ldots + 6) = size -2 {21 over 6} = 3,5 .

То есть в ста опытах мы ожидаем сумму тридцать пять очков. Естественно, результаты реального эксперимента могут отличаться, но с увеличением числа опытов, среднее значение выпавших на верхней грани игральной кости очков будет приблизительно три с половиной.

Формулы выше верны для конечных дискретных случайных величин, имеющих конечное число значений. Нетрудно экстраполировать эту формулу: если наша дискретная случайная величина X имеет бесконечное число значений (т. е. число её значений не более чем счётно), то математическое ожидание будет: roman M \[X\] = sum from i=1 to inf x sub i p sub i

Математическое ожидание существует, когда указанный ряд сходится абсолютно. В противном случае, у случайной величины нет математического ожидания.

Для непрерывных случайных величин мы можем воспользоваться интегралом: roman M \[X\] = int from {- inf} to {+ inf} x p(x) roman d x

Если интеграл сходится, то математическое ожидание существует, в противном случае, математического ожидания у случайной величины нет (например, нет математического ожидания у случайной величины, распределённой по закону Коши — слишком тяжёлые хвосты у распределения).

Содержание

Свойство математического ожидания

Математическое ожидание обладает следующими полезными свойствами:

  1. Математическое ожидание случайной величины — это константа (число): roman M \[X\] = c .
  2. Математическое ожидание константы — это сама эта константа: roman M \[c\] = c .
  3. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — линейная комбинация математических ожиданий: roman M \[a X + b Y + c\] = a roman M \[X\] + b roman M \[Y\] + c . Важный частный случай этого свойста — возможность вынесения константы за знак математического ожидания: roman M \[cX\] = c roman M \[X\] .


КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияТеорияВероятностей