@@ -1,10 +1,10 @@
-- Математическое ожидание случайной величины
+= Математическое ожидание случайной величины
 
-Математическое ожидание — это среднее значение СлучайнаяВеличина, взвешенное по вероятности.
+Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятности.
 
-Рассмотрим простой пример: пусть случайная величина $$X$$ принимает значения $$X = \(lC -3, 0, 1, 2, 4 \(rC$$ с вероятностями $$p = \(lC 0,2, 01, 0,15, 0,25, 0,3 \(rC$$
+Рассмотрим простой пример: пусть СлучайнаяВеличина $$X$$ принимает значения $$X = \(lC -3, 0, 1, 2, 4 \(rC$$ с вероятностями $$p = \(lC 0","2, 0","1, 0","15, 0","25, 0","3 \(rC .$$ Можно проинтерпетировать это следующим образом: в эксперименте из ста опытов значение $$-3$$ реализуется двадцать раз, значение $$0$$ — десять раз и так далее. Мы хотим понять, какое среднее значение случайной величины будет в ста опытах. Такое среднее значение мы и назовём математическим ожиданием.
 
-Вычисляя математическое ожидание мы берём в качестве весов вероятности, соответствующие значениям случайной величины. При этом сумма всех весов будет равна $$1 , $$ так как по сути это вероятность достоверного события (то есть события, что случайная величина примет хотя бы какое-то значение из возможных): 
+Вычисляя математическое ожидание, мы берём в качестве весов вероятности, соответствующие значениям случайной величины. При этом сумма всех весов будет равна $$1 , $$ так как по сути это вероятность достоверного события (то есть события, что случайная величина примет хотя бы какое-то значение из возможных): 
 
 %EQ
 roman M [X] =
@@ -14,52 +14,47 @@
 sum from i=1 to n x sub i p sub i .
 %EN
 
-Предположим, что некая СлучайнаяВеличина $$X$$ может принимать следующие значения $$X = \(lC -3, 0, 1, 2, 4\(rC$$ с вероятностями $$p = \(lC 0,2, 0,1, 0,15, 0,25, 0,3\(rC ,$$ математическое ожидание данной случайной величины:
+Для нашего первого примера:
 
 %EQ
-roman M [X] = -3 cdot 0,2 + 0 cdot 0,1 + 1 cdot 0, 15 + 2 cdot 0,25 + 4 cdot 0,3 = 1,25
+roman M [X] = -3 cdot 0","2 + 0 cdot 0","1 + 1 cdot 0","15 + 2 cdot 0","25 + 4 cdot 0","3 = 1","25 .
 %EN
 
-Математическое ожидание числа точек на игральной кости можно вычислить как:
+То есть в ста экспериментах мы ожидаем наберать 125 очков. С увеличением $$n$$ — числа опытов — по закону больших чисел сумма будет стремиться к $$1,25 cdot n$$ очков.
+
+Приведём ещё один пример. Математическое ожидание числа точек на игральной кости можно вычислить как:
 
 %EQ
 roman M [X] = 
 size -2 {1 over 6} cdot 1 + size -2 {1 over 6} cdot 2 + ldots + size -2 {1 over 6} cdot 6 =
-size -2 {1 over 6} (1 + 2 + ldots + 6) = size -2 {21 over 6} = 3,5
+size -2 {1 over 6} (1 + 2 + ldots + 6) = size -2 {21 over 6} = 3,5 .
 %EN
 
-Формулы выше верны для дискретных случайных величин, имеющих конечное число значений. Если наша дискретная случайная величина $$X$$ имеет бесконечное число значений (т. е. число её значений не более чем счётно), то математическое ожидание будет:
+То есть в ста опытах мы ожидаем сумму тридцать пять очков. Естественно, результаты реального эксперимента могут отличаться, но с увеличением числа опытов, среднее значение выпавших на верхней грани игральной кости очков будет приблизительно три с половиной.
+
+Формулы выше верны для конечных дискретных случайных величин, имеющих конечное число значений. Нетрудно экстраполировать эту формулу: если наша дискретная случайная величина $$X$$ имеет бесконечное число значений (т. е. число её значений не более чем счётно), то математическое ожидание будет:
 
 %EQ
 roman M [X] = sum from i=1 to inf x sub i p sub i
 %EN
 
-Например, мы хотим определить математическое ожидание случайной величины $$X$$ — числа подбрасываний симметричной монеты до первого появления орла (герба). Значения случайной величины $$X = \(lC 1, 2, 3, ldots \(rC$$ с вероятностями $$p = \(lC size -2 {1 over 2, 1 over {2 sup 2}, 1 over {2 sup 3} , ldots } \(rC ,$$ значит:
+Математическое ожидание существует, когда указанный ряд сходится абсолютно. В противном случае, у случайной величины нет математического ожидания.
+
+Для непрерывных случайных величин мы можем воспользоваться интегралом:
 
 %EQ
-roman M [X] = 
-1 cdot size -2 {1 over 2} +  2 cdot size -2 {1 over {2 sup 2}} + 3 cdot size -2 {1 over {2 sup 3}} + ldots = 
-sum from i=1 to inf {i over {2 sup i}}
+roman M [X] = int from {- inf} to {+ inf} x p(x) roman d x
 %EN
 
-Ряд $$sum from i=1 to inf size -2 {i over {2 sup i}}$$ мы можем разложить как:
+Если интеграл сходится, то математическое ожидание существует, в противном случае, математического ожидания у случайной величины нет (например, нет математического ожидания у случайной величины, распределённой по закону Коши — слишком тяжёлые хвосты у распределения).
+
+- Свойство математического ожидания
+
+Математическое ожидание обладает следующими полезными свойствами:
+
+	1 Математическое ожидание случайной величины — это константа (число): $$roman M [X] = c .$$
+	1 Математическое ожидание константы — это сама эта константа: $$roman M [c] = c .$$
+	1 Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — линейная комбинация математических ожиданий: $$roman M [a X + b Y + c] = a roman M [X] + b roman M [Y] + c .$$ Важный  частный случай этого свойста — возможность вынесения константы за знак математического ожидания: $$roman M [cX] = c roman M [X] .$$
 
-%EQ
-sum from i=1 to inf size -2 {i over {2 sup i}} = 
-sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} + 
-sum from i=2 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} + 
-sum from i=3 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} + 
-ldots = 
-sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} +
-size -2 {1 over 2} sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} +
-size -2 {1 over {2 sup 2}} sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} +
-ldots = 
-left (
- sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}}
-right ) ~ 
-left (
- 1 + size -2 {1 over 2} + size -2 {1 over {2 sup 2} + ldots }
-right ) = 
-%EN
 
 # КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияТеорияВероятностей