Разница между 1.43
и текущей версией
МетодыРешенияСЛАУ.
@@ -1,67 +1,90 @@
-- Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
+= Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
-Допустим, в рамках решения некоторой задачи нам необходимо решить следующую систему уравнений:
+Допустим, в рамках некоторой задачи нам необходимо решить систему из $$n$$ линейных уравнений с $$n$$ неизвестными:
%EQ
-left {
+left { "\h|2p|"
+ lpile {
+ "\ER`@l \En(.k`" a sub 11 x sub 1 + a sub 12 x sub 2 + ldots + a sub 1n x sub n = b sub 1 "\ER`@r \En(.k`" , above
+ a sub 21 x sub 1 + a sub 22 x sub 2 + ldots + a sub 2n x sub n mark = b sub 2 , above
+ "\Z|\l`\En(@ru-\En(@lu+4p\[filldot]`|" above
+ a sub n1 x sub 1 + a sub n2 x sub 2 + ldots + a sub nn x sub n lineup = b sub n .
+ }
+right nothing
+%EN
+
+Такую систему будем называть ''системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)''.
+
+Более компактно в матричной форме можно записать СЛАУ как $$A bold x = bold b$$.
+Матрицу $$A$$ назовём ''матрицей коэффициентов'' или ''матрицей системы'',
+вектор $$bold x$$ — ''вектором неизвестных'' или ''вектором переменных'',
+вектор $$bold b$$ — ''вектором свободных членов''.
+Если $$bold b = bold 0$$, то говорят, что такая СЛАУ ''однородна''.
+
+- Метод Крамера
+
+Методом Крамера можно решить СЛАУ,
+матрица коэффициентов которой является квадратной и невырожденной
+(что гарантирует нам наличие решения и его единственность).
+
+Допустим, необходимо решить следующую СЛАУ:
+
+%EQ
+left { "\h|2p|"
+ lpile {
+ 3 x sub 1 - 2 x sub 2 = 21 , above
+ - x sub 1 + 4 x sub 2 = -17 .
+ }
+right nothing
+%EN
+
+В матричной форме можем представить эту СЛАУ следующим образом:
+
+%EQ
+left (
+ matrix {
+ ccol {3 above -1}
+ ccol {-2 above 4}
+ }
+right )
+~
+left (
matrix {
- ccol {
- a sub 11 x sub 1 + above
- a sub 21 x sub 1 + above
- vdots above
- a sub i1 x sub 1 + above
- vdots above
- a sub m1 x sub 1 +
- }
- ccol {
- a sub 12 x sub 2 + above
- a sub 22 x sub 2 + above
- vdots above
- a sub i2 x sub 2 + above
- vdots above
- a sub m2 x sub 2 +
- }
- ccol {
- ldots above
- ldots above
- ddots above
- ldots above
- ddots above
- ldots
- }
- ccol {
- a sub j1 x sub j + above
- a sub j2 x sub j + above
- vdots above
- a sub ji x sub i + above
- vdots above
- a sub jm x sub i +
- }
- ccol {
- ldots above
- ldots above
- ddots above
- ldots above
- ddots above
- ldots
- }
+ ccol {x sub 1 above x sub 2}
}
-right nothing
+right ) =
+left (
+ matrix {
+ ccol {21 above -17}
+ }
+right ) "\h|2p|" .
%EN
+Определитель матрицы коэффициентов системы больше нуля,
+что гарантирует нам наличие единственного решения:
--- Метод Крамера
+%EQ
+Delta =
+roman det (A) =
+left |
+ matrix {
+ ccol {3 above -1}
+ ccol {-2 above 4}
+ }
+right | =
+3 cdot 4 - (-1) cdot (-2) = 10 > 0 .
+%EN
--- Метод Гаусса
+- Метод Гаусса
Универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Метод позволяет прийти к выводу о том, что данная СЛАУ:
- * неразрешима
- * имеет одно решение и вычислить его
- * имеет множество (семейство) решений и вывести формулу, позволяющую получить любое из семейств решений СЛАУ
+ * неразрешима;
+ * имеет одно решение и вычислить его;
+ * имеет множество (семейство) решений и вывести формулу, позволяющую получить любое из семейств решений СЛАУ.
--- Метод Зейделя-Гаусса
+- Метод Зейделя — Гаусса
# КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияЛинейнаяАлгебра