Это старая версия (1.60) МетодыРешенияСЛАУ.

Содержание

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Допустим, в рамках некоторой задачи нам необходимо решить систему из m линейных уравнений с n неизвестными: left {
 matrix {
  ccol {
   a sub 11 x sub 1 + above 
   a sub 21 x sub 1 + above 
   vdots above 
   a sub i1 x sub 1 + above
   vdots above
   a sub m1 x sub 1 + 
  }
  ccol {
   a sub 12 x sub 2 + above 
   a sub 22 x sub 2 + above 
   vdots above 
   a sub i2 x sub 2 + above
   vdots above
   a sub m2 x sub 2 + 
  }
  ccol {
   ldots above 
   ldots above 
   ddots above 
   ldots above
   ddots above
   ldots
  }
  ccol {
   a sub 1j x sub j + above 
   a sub 2j x sub j + above 
   vdots above 
   a sub ij x sub j + above
   vdots above
   a sub mj x sub j + 
  }
  ccol {
   ldots above 
   ldots above 
   ddots above 
   ldots above
   ddots above
   ldots
  }
  ccol {
   a sub 1n x sub n = above 
   a sub 2n x sub n = above 
   vdots above 
   a sub in x sub n = above
   vdots above
   a sub mn x sub n =
  }
  ccol {
   b sub 1 above
   b sub 2 above
   vdots above
   b sub i above
   vdots above
   b sub m
  }
 }
right nothing ~ .

Такую систему будет называть системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Более компактно в матричной форме можно записать СЛАУ как: A bold x = bold b . Матрица A будет назовём матрицей коэффициентов или матрицей системы, вектор bold xвектором неизвестных или вектором переменных, вектор bold bвектором свободных членов. Если bold b = bold 0, то говорят, что такая СЛАУ однородна.

Метод Крамера

Методом Крамера можно решить СЛАУ, матрица коэффициентов которой является квадратной и невырожденный (что гарантирует нам наличие решения и его единственность).

Допустим, необходимо решить следующую СЛАУ: left {
 lpile {
  3 x sub 1 - 2 x sub 2 = 21 above
  - x sub 1 + 4 x sub 2 = -17
 }
right nothing ~ .

В матричной форме можем представить эту СЛАУ следующим образом: left (
 matrix {
  ccol {3 above -1}
  ccol {-2 above 4}
 }
right )
~
left (
 matrix {
  ccol {x sub 1 above x sub 2}
 }
right ) =
left (
 matrix {
  ccol {21 above -17}
 }
right ) ~ .

Метод Гаусса

Универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Метод позволяет прийти к выводу о том, что данная СЛАУ:

  • неразрешима
  • имеет одно решение и вычислить его
  • имеет множество (семейство) решений и вывести формулу, позволяющую получить любое из семейств решений СЛАУ

Метод Зейделя-Гаусса



КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияЛинейнаяАлгебра