Это старая версия (1.91) МетодыРешенияСЛАУ.

Содержание

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Допустим, в рамках некоторой задачи нам необходимо решить систему из m линейных уравнений с n неизвестными: left {
 matrix {
  ccol {
   a sub 11 x sub 1 + above 
   a sub 21 x sub 1 + above 
   vdots above 
   a sub i1 x sub 1 + above
   vdots above
   a sub m1 x sub 1 + 
  }
  ccol {
   a sub 12 x sub 2 + above 
   a sub 22 x sub 2 + above 
   vdots above 
   a sub i2 x sub 2 + above
   vdots above
   a sub m2 x sub 2 + 
  }
  ccol {
   ldots above 
   ldots above 
   ddots above 
   ldots above
   ddots above
   ldots
  }
  ccol {
  + a sub 1j x sub j + above 
  + a sub 2j x sub j + above 
  + vdots above 
  + a sub ij x sub j + above
   vdots above
  + a sub mj x sub j + 
  }
  ccol {
   ldots above 
   ldots above 
   ddots above 
   ldots above
   ddots above
   ldots
  }
  ccol {
   + a sub 1n x sub n above
   + a sub 2n x sub n above
   vdots above 
   + a sub in x sub n above
   vdots above
   + a sub mn x sub n
  }
  ccol {
   = above
   = above
   vdots above
   = above
   vdots above
   =
  }
  lcol {
   b sub 1 above
   b sub 2 above
   vdots above
   b sub i above
   vdots above
   b sub m .
  }
 }
right nothing

Такую систему будет называть системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Более компактно в матричной форме можно записать СЛАУ как: A bold x = bold b . Матрицу A будет назовём матрицей коэффициентов или матрицей системы, вектор bold xвектором неизвестных или вектором переменных, вектор bold bвектором свободных членов. Если bold b = bold 0, то говорят, что такая СЛАУ однородна.

Метод Крамера

Методом Крамера можно решить СЛАУ, матрица коэффициентов которой является квадратной и невырожденный (что гарантирует нам наличие решения и его единственность).

Допустим, необходимо решить следующую СЛАУ: left {
 lpile {
  3 x sub 1 - 2 x sub 2 = 21 above
  - x sub 1 + 4 x sub 2 = -17
 }
right nothing ~ .

В матричной форме можем представить эту СЛАУ следующим образом: left (
 matrix {
  ccol {3 above -1}
  ccol {-2 above 4}
 }
right )
~
left (
 matrix {
  ccol {x sub 1 above x sub 2}
 }
right ) =
left (
 matrix {
  ccol {21 above -17}
 }
right ) \\\"\\h|2p|\\\" .

Определитель матрицы коэффициентов системы больше нуля, что гаранатирует нам наличие единственного решения: Delta = 
roman det (A) = 
left | 
 matrix {
  ccol {3 above -1} 
  ccol {-2 above 4}
 } 
right | = 
3 cdot 4 - (-1) cdot (-2) = 10 > 0 .

Метод Гаусса

Универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Метод позволяет прийти к выводу о том, что данная СЛАУ:

  • неразрешима
  • имеет одно решение и вычислить его
  • имеет множество (семейство) решений и вывести формулу, позволяющую получить любое из семейств решений СЛАУ

Метод Зейделя — Гаусса



КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияЛинейнаяАлгебра