Содержание
LU-разложение
ToDo:
- LU-разложение — частный случай МетодГаусса?.
- Через LU-разложение можно представить не любую матрицу, расширением метода для произвольной матрицы является РазложениеLUP(LU-разложение — частный случай LUP-разложения).
- Сравнение алгоритмической сложности методов через
-нотацию.
Определение
Для корректного определения понятия LU-разложения введем несколько дополнительных опредлений (затем перенести в статью АлгебраическиеМатрицы?, или в статью с другим названием, но отражающим суть явления)
- Треугольная матрица (определение из учебника)
- Квадратная матрица, все элементы которой строго выше или строго ниже главной диагонали равны нулю.
- Треугольная матрица (с немаловожным уточнением)
- Квадратная матрица, все элементы которой строго выше или строго ниже главной диагонали равны нулю, а среди остальных элементов найдётся хотя бы один ненулевой.
- Кстати, вопрос к дипломированным математикам с дипломом не ниже НМУ с отличием (агагагагагагагага): а что с остальными элементами? Является ли нулевая матрица треугольной? -- АтрашкевичАндрей
- Нижнетреугольная матрица
- треугольная матрица, все элементы которой строго ниже главной диагонали, равны нулю.
Нижнетреугольная матрица чаще всего обозначается
(от англ. lower) и может быть представлена в следующем виде:
- Верхнетреугольная матрица
- треугольная матрица, все элементы которой строго выше главной диагонали, равны нулю.
Нижнетреугольная матрица чаще всего обозначается
(от англ. lower),
а верхнетреугольная матрица —
(от англ. upper).
Поток мыслей (или зачем это вообще нужно?)
- Привести в божеский вид -- АтрашкевичАндрей
«Король математики» Карл Гаусс мог не только ввести в ступор своего учителя по математике [1], но и придумал (вернее, переоткрыл, этот способ был известен еще в Китае эпохи раннего Тан, кажется) метод решения систем алгебраических уравнений. Этим методом можно решить (или прийти к выводу о неразрешимости) любую систему линейных алгебраических уравнений (в том числе и такую, в которой число переменных равно числу уравнений). Этот метод получил название МетодГаусса?. Затем идеи этого фундаментального математического метода легли в основу, например МетодНаименьшихКвадратов и многих других вычислительных методов, оперирующих аппаратом линейной алгебры.
Примерно тогда же появилось понятие ОпределительМатрицы?. Его основной целью было определить, имеется ли у СЛАУ решение.
Однако, в вузах и ссузах учат почему-то древнему боевому искусству математиков — рукопашной линейной алгебре (взять определитель матрицы 6 на 6 разложением по строке или столбцу с вычислением определителей дополнительных миноров).
При этом вычислительные мощности выросли на порядки. И нужны были красивые и простые (как в смысле алгоритма, так и в смысле реализации) методы решения СЛАУ (и, соответственно, вычисления определителей). Это и дало толчок к тому, чтобы развивать идеи разложений матриц. Потому что метод Гаусса прямым и обратным ходом позволяет совершенно элементарно решать СЛАУ.
- Надо написать про сравнительную сложность алгоритмов: решать СЛАУ через разложение или через рукопашные методы. -- АтрашкевичАндрей
[1] Для незнающих, рекомендую ознакомиться с этим чудесным случаем: ни идиотская методика преподавания, строящаяся на палочной дисциплине и наказаниях не изменилась (а лишь ухудшилась), ни образ учителя математики как идиота и самодура не претерпел никаких измений.
КатегорияЛинейнаяАлгебра | КатегорияПрикладнаяМатематика