Это старая версия (1.20) СхемаУрн.

Содержание

Схема урн

Схема урн — основная математическая модель, используемая в перечислительной комбинаторике.

Представим себе непрозрачную урну, в которой находятся n пронумерованных шаров.

Мы хотим ответить на вопрос: сколько различных наборов из k шаров мы можем составить из n шаров, находящихся в урне?

Для того, чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо ответить на два вспомогательных вопроса:

  1. Как мы будем составлять эти наборы?
  2. Что мы считаем различными наборами?

На первый вопрос мы может быть два ответа: мы не будем возвращать шары в урну (выбор без повтора) или мы будем возвращать шары в урну (выбор с повтором).

На второй вопросы мы также можем дать два ответа: порядок шаров нам не важен (выбор без учёта порядка) и порядок шаров нам важен (выбор с учётом порядка). В первом случае наборы (1, 3, 4) и (4, 1, 3) — это один и тот же набор (отличается, как можно заметить, исключительно порядком шаров), во втором — это разные наборы.

Рассмотрим по порядку все возможные схемы выбора.

Выбор без повтора без учёта порядка.

Число наборов k шаров из n называется размещением из k по n и обозначается A sub n sup k (от англ. allocation — размещение).

Попробуем сконструировать формулу. Первый элемент нашего набора мы можем выбрать n способами (выбрать любой из n шаров, находящихся в урне). Поскольку в нашей схеме мы не возвращаем шары в урну, второй элемент мы сможем выбрать уже только (n - 1) способами, т. к. в урне на этот момент останется именно (n - 1) шаров. Аналогично, третий элемент мы сможем выбрать (n - 2) способами, и так далее до k–ого элемента, который мы сможем выбрать (n - k + 1) способами.

Всего, таким образом число способов, которыми мы можем выбрать k шаров из n без повтора и без учёта порядка будет равно: A sub n sup k = 
n cdot (n - 1) cdot ldots cdot (n - k + 1) = 
{n cdot (n - 1) cdot ldots cdot (n - k + 1) cdot (n - k) cdot ldots cdot 2 cdot 1} over 
{(n - k) cdot ldots cdot 2 cdot 1} =
{n !} over {(n - k)!}

Пример: сколькими способами мы сможем случайно выбрать 4 человек для первого «захода» на экзамен по теории вероятностей и математической статистике из 10 студентов, находящихся в коридоре?

A sub 10 sup 4 = {10!} over {(10 - 4)!} = {10!} over {6!} = 3628800 over 720 = 5040 .


КатегорияТеорияВероятностей