Это старая версия (1.54) ДисперсияСлучайнойВеличины.

Содержание

Дисперсия случайной величины

Черновик. Черновик. Черновик. Не бросайте меня в терновый куст.

Мера разброса случайной величины. Второй центральный момент.

Дисперсия — это мера отклонения значений выборки от её среднего.

Для иллюстрации рассмотрим два примера: очень простой и простой.

Очень простой пример

Предположим, у нас есть две выборки размера n = 5 : X = \\(lC 7, 8, 10, 12, 13 \\(rC и Y = \\(lC 2, 7, 12, 13, 16 \\(rC . Средние этих выборок равны x bar = y bar = 10 , но видно, что первая выборка гораздо более компактно располагается вокруг своего среднего значения, а вторая — более рассеянна относительно него.

Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние разносторонних выборосов (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такая сумма и будет называться дисперсией или вариацией: roman D \[X\] = {sum from i=1 to n (x sub i - x bar ) sup 2} over {n}

Для первой выборки: roman D \[ X \] = size -2 {{(7 - 10) sup 2 + (8 - 10) sup 2 + (10 - 10) sup 2 + (12 - 10) sup 2 + (13 - 10) sup 2} over 5} = size -2 {26 over 5} = 5,2 }

Для второй выборки: roman D \[ Y \] = size -2 {{(2 - 10) sup 2 + (7 - 10) sup 2 + (12 - 10) sup 2 + (13 - 10) sup 2 + (16 - 10) sup 2} over 5} = size -2 {122 over 5} = 24,4

Видно, что вторая выборка более разряженна относительно её арифметрического центра.

Простой пример.

Предположим, что у нас есть две случайных величины X и Y, законы распределения которых заданы таблично: left | matrix { ccol {x sub i above p sub i} ccol {5 above 0,1} ccol {7 above 0,5} ccol {10 above 0,4} } right | left | matrix { ccol {y sub i above p sub i} ccol {2 above 0,2} ccol {9 above 0,7} ccol {13 above 0,1} } right |

Математические ожидания этих случайных величины равны: lpile { roman M \[X\] = sum from i=1 to 3 x sub i p sub i = 5 cdot 0,1 + 7 cdot 0,5 + 10 cdot 0,4 = 8 , above roman M \[Y\] = sum from i=1 to 3 y sub i p sub i = 2 cdot 0,2 + 9 cdot 0,7 + 13 cdot 0,1 = 8 . }

Дисперсия, как было сказано выше, сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. С учётом вероятностей мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания: roman D \[X\] = roman M \[(X - roman M \[X\]) sup 2 \] .

Напомним три факта, связанное с понятием МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины:

  1. Математическое ожидание случайной величины — это число, константа: roman M \[X\] = с.
  2. Константу можно вынести за знак математического ожидания: roman M \[cX\] = c roman M \[X\].
  3. Математическое ожидание константы — это сама константа: roman M \[c\] = c .
  4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — это линейная комбинация математических ожиадний: roman M \[a X + b Y + c\] = a roman M \[X\] + b roman M \[Y\] + c .

Раскроем скобки в записи дисперсии и воспользуемся свойством линейности математического ожидания: roman D \[X\] = roman M \[X sup 2 - 2 X roman M \[X\] + ( roman M \[X\]) sup 2 \] = roman M \[X sup 2 \] - roman M \[2 X roman M \[X\]\] + roman M \[( roman M \[X\]) sup 2 \] .

Рассмотрим слагаемые по отдельности. Первое слагаемое мы оставим без изменений. Из второго слагаемого мы можем вынести константу: 2 roman M \[X\]. Для этого воспользуемся следующими свойствами из перечисленных выше: константу можно вынести за знак математического ожидания и математическое ожидание случайной величины — само по себе константа — roman M \[2 X roman M \[X\]\] = 2 roman M \[X\] roman M \[X\] = 2 ( roman M \[X\]) sup 2 .

КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияТеорияВероятностей