Дисперсия случайной величины

Черновик. Черновик. Черновик. Не бросайте меня в терновый куст.

Мера разброса случайной величины. Второй центральный момент.

Дисперсия — это мера отклонения значений выборки от её среднего.

Для иллюстрации рассмотрим два примера: очень простой и простой.

Очень простой пример

Предположим, у нас есть две выборки размера и Средние этих выборок равны но видно, что первая выборка гораздо более компактно располагается вокруг своего среднего значения, а вторая — более рассеенна относительно него.

Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно в среднем отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние отклонений в разные стороны от среднего (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такой показатель и будем называть дисперсией или вариацией:

Для первой выборки:

Для второй выборки:

Видно, что вторая выборка более разреженна относительно её арифметрического центра.

Простой пример.

Предположим, что у нас есть две случайных величины и , законы распределения которых заданы таблично:

Математические ожидания этих случайных величины равны:

Дисперсия, как было сказано выше, сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. Мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания:

Напомним три факта, связанное с понятием МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины:

1. Математическое ожидание случайной величины — это число, константа:
2. Константу можно вынести за знак математического ожидания:
3. Математическое ожидание константы — это сама константа:
4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — это линейная комбинация математических ожиадний:

Раскроем скобки в записи дисперсии и воспользуемся свойством линейности математического ожидания:

Рассмотрим слагаемые по отдельности. Первое слагаемое мы оставим без изменений. Из второго слагаемого мы можем вынести константу , в результате чего получим Под знаком математического ожидания третьего слагаемого стоит квадрат математического ожидания, т. е. тоже константа поэтому Запишем дисперсию, использовав преобразованные слагаемые:

Мы можем воспользоваться любой из этих формул для расчёта дисперсии:

Рассчитаем несколько дисперсию случайных величин и воспользовавшись второй формулой. Рассчитаем сначала математические ожидания квадратов случайных величин:

Финально, получим дисперсии: