Дисперсия случайной величины

Черновик. Черновик. Черновик. Не бросайте меня в терновый куст.

Мера разброса случайной величины. Второй центральный момент.

Дисперсия — это мера отклонения значений выборки от её среднего.

Для иллюстрации рассмотрим два примера: очень простой и простой.

Очень простой пример

Предположим, у нас есть две выборки размера и Средние этих выборок равны но видно, что первая выборка гораздо более компактно располагается вокруг своего среднего значения, а вторая — более рассеянна относительно него.

Попробуем численно показать этот интуитивный факт. Для этого посмотрим, насколько сильно в среднем отклоняются от среднего значения наших выборок. Чтобы нивелировать влияние отклонений в разные стороны от среднего (что-то дало отклонение в плюс, а что-то в минус), мы используем сумму квадратов отклонений значений от среднего. Такой показатель и будем называть дисперсией и обозначим

Отметим, что в академической традиции, подражающей западной, дисперсию принято называть вариацией (калькирование английского слова variance) и обозначать , что вносит путаницу, когда русскоязычные студенты начинает изучать, например, метод вариации постоянной в курсе дифференциальных уравнений. Поэтому мы будем придерживаться термина дисперсия и указанного выше обозначения или обозначения через .

Рассчитаем дисперсии для обеих выборок из нашего примера.

Для первой выборки:

Для второй выборки:

Видно, что вторая выборка более разреженна относительно её арифметрического центра.

Определение для случайных величин

Дисперсия, как было сказано выше, средняя сумма квадратов отклонений от среднего. Для случайной величины среднее — это математическое ожидание. Мы можем сказать, что дисперсия — это математическое ожидание квадратов отклонения значения случайной величины от её математического ожидания (в роли деления на число наблюдений выступает взвешивание по вероятностям в формуле математического ожидания):

Напомним три факта, связанное с понятием МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины:

1. Математическое ожидание случайной величины — это число, константа:
2. Математическое ожидание константы — это сама эта константа:
3. Константу можно вынести за знак математического ожидания:
4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — это линейная комбинация математических ожиадний:

Раскроем скобки в записи дисперсии и воспользуемся свойством линейности математического ожидания:

Рассмотрим слагаемые по отдельности. Первое слагаемое мы оставим без изменений. Из второго слагаемого мы можем вынести константу , в результате чего получим Под знаком математического ожидания третьего слагаемого стоит квадрат математического ожидания, т. е. тоже константа поэтому Запишем дисперсию, использовав преобразованные слагаемые:

Мы можем воспользоваться любой из этих формул для расчёта дисперсии:

Простой пример

Предположим, что у нас есть две случайных величины и , законы распределения которых заданы таблично:

Математические ожидания этих случайных величины равны:

Рассчитаем дисперсию случайных величин и воспользовавшись второй формулой. Рассчитаем сначала математические ожидания квадратов случайных величин:

Финально, получим дисперсии: