Это старая версия (1.73) МатематическоеОжиданиеСлучайнойВеличины.

Содержание

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание — это среднее значение СлучайнаяВеличина, взвешенное по вероятности.

Рассмотрим простой пример: пусть случайная величина X принимает значения X = \\(lC -3, 0, 1, 2, 4 \\(rC с вероятностями p = \\(lC 0,2, 0,1, 0,15, 0,25, 0,3 \\(rC . Немного отойдя от формализма, можно проинтерпетировать это следующим образом: в эксперименте из ста опытов значение -3 реализуется двадцать раз, значение 0 — десять раз и так далее. Мы хотим понять, какое среднее значение случайной величины будет в ста опытах. Такое среднее значение мы и назовём математическим ожиданием.

Вычисляя математическое ожидание, мы берём в качестве весов вероятности, соответствующие значениям случайной величины. При этом сумма всех весов будет равна 1 , так как по сути это вероятность достоверного события (то есть события, что случайная величина примет хотя бы какое-то значение из возможных): roman M \[X\] =
{x sub 1 p sub 1 + x sub 2 p sub 2 + ldots + x sub n p sub n} over 
{p sub 1 + p sub 2 + ldots + p sub n} = 
{x sub 1 p sub 1 + x sub 2 p sub 2 + ldots + x sub n p sub n} over 1 =
sum from i=1 to n x sub i p sub i .

Для нашего первого примера: roman M \[X\] = -3 cdot 0,2 + 0 cdot 0,1 + 1 cdot 0, 15 + 2 cdot 0,25 + 4 cdot 0,3 = 1,25 .

Математическое ожидание числа точек на игральной кости можно вычислить как: roman M \[X\] = 
size -2 {1 over 6} cdot 1 + size -2 {1 over 6} cdot 2 + ldots + size -2 {1 over 6} cdot 6 =
size -2 {1 over 6} (1 + 2 + ldots + 6) = size -2 {21 over 6} = 3,5 .

Формулы выше верны для дискретных случайных величин, имеющих конечное число значений. Если наша дискретная случайная величина X имеет бесконечное число значений (т. е. число её значений не более чем счётно), то математическое ожидание будет: roman M \[X\] = sum from i=1 to inf x sub i p sub i

Например, мы хотим определить математическое ожидание случайной величины X — числа подбрасываний симметричной монеты до первого появления орла (герба). Значения случайной величины X = \\(lC 1, 2, 3, ldots \\(rC с вероятностями p = \\(lC size -2 {1 over 2, 1 over {2 sup 2}, 1 over {2 sup 3} , ldots } \\(rC , значит: roman M \[X\] = 
1 cdot size -2 {1 over 2} +  2 cdot size -2 {1 over {2 sup 2}} + 3 cdot size -2 {1 over {2 sup 3}} + ldots = 
sum from i=1 to inf {i over {2 sup i}}

Ряд sum from i=1 to inf size -2 {i over {2 sup i}} мы можем разложить как: sum from i=1 to inf size -2 {i over {2 sup i}} = 
sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} + 
sum from i=2 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} + 
sum from i=3 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} + 
ldots = 
sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} +
size -2 {1 over 2} sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} +
size -2 {1 over {2 sup 2}} sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}} +
ldots = 
left (
 sum from i=1 to inf size -2 {1 over {2 sup i}}
right ) ~ 
left (
 1 + size -2 {1 over 2} + size -2 {1 over {2 sup 2} + ldots }
right ) =


КатегорияПрикладнаяМатематика | КатегорияТеорияВероятностей