Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание — это среднее значение СлучайнаяВеличина, взвешенное по вероятности.

Рассмотрим простой пример: пусть случайная величина принимает значения с вероятностями Немного отойдя от формализма, можно проинтерпетировать это следующим образом: в эксперименте из ста опытов значение реализуется двадцать раз, значение — десять раз и так далее. Мы хотим понять, какое среднее значение случайной величины будет в ста опытах. Такое среднее значение мы и назовём математическим ожиданием.

Вычисляя математическое ожидание, мы берём в качестве весов вероятности, соответствующие значениям случайной величины. При этом сумма всех весов будет равна так как по сути это вероятность достоверного события (то есть события, что случайная величина примет хотя бы какое-то значение из возможных):

Для нашего первого примера:

Математическое ожидание числа точек на игральной кости можно вычислить как:

Формулы выше верны для дискретных случайных величин, имеющих конечное число значений. Если наша дискретная случайная величина имеет бесконечное число значений (т. е. число её значений не более чем счётно), то математическое ожидание будет:

Например, мы хотим определить математическое ожидание случайной величины — числа подбрасываний симметричной монеты до первого появления орла (герба). Значения случайной величины с вероятностями значит:

Ряд мы можем разложить как: