Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятности.

Рассмотрим простой пример: пусть СлучайнаяВеличина принимает значения с вероятностями Можно проинтерпетировать это следующим образом: в эксперименте из ста опытов значение реализуется двадцать раз, значение — десять раз и так далее. Мы хотим понять, какое среднее значение случайной величины будет в ста опытах. Такое среднее значение мы и назовём математическим ожиданием.

Вычисляя математическое ожидание, мы берём в качестве весов вероятности, соответствующие значениям случайной величины. При этом сумма всех весов будет равна так как по сути это вероятность достоверного события (то есть события, что случайная величина примет хотя бы какое-то значение из возможных):

Для нашего первого примера:

То есть в ста экспериментах мы ожидаем наберать 125 очков. С увеличением — числа опытов — по закону больших чисел сумма будет стремиться к очков.

Приведём ещё один пример. Математическое ожидание числа точек на игральной кости можно вычислить как:

То есть в ста опытах мы ожидаем сумму тридцать пять очков. Естественно, результаты реального эксперимента могут отличаться, но с увеличением числа опытов, среднее значение выпавших на верхней грани игральной кости очков будет приблизительно три с половиной.

Формулы выше верны для конечных дискретных случайных величин, имеющих конечное число значений. Нетрудно экстраполировать эту формулу: если наша дискретная случайная величина имеет бесконечное число значений (т. е. число её значений не более чем счётно), то математическое ожидание будет:

Математическое ожидание существует, когда указанный ряд сходится абсолютно. В противном случае, у случайной величины нет математического ожидания.

Для непрерывных случайных величин мы можем воспользоваться интегралом:

Если интеграл сходится, то математическое ожидание существует, в противном случае, математического ожидания у случайной величины нет (например, нет математического ожидания у случайной величины, распределённой по закону Коши — слишком тяжёлые хвосты у распределения).

Свойство математического ожидания

Математическое ожидание обладает следующими полезными свойствами:

1. Математическое ожидание случайной величины — это константа (число):
2. Математическое ожидание константы — это сама эта константа:
3. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин — линейная комбинация математических ожиданий: